Resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x+y=9 \\\ x^{2}+y^{2}-2 x-2 y=23\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x+y=9,\\\ x^{2}+y^{2}-2x-2y=23. \end{cases}
O conteúdo principal aqui é trabalhar com soma de variáveis e soma de quadrados, usando a identidade (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy.

Passo 2

Definimos
S = x + y.
Da primeira equação já temos
S = 9.
Substituindo em x^{2}+y^{2}-2x-2y=23, note que
x^{2}+y^{2}-2(x+y)=23
então
x^{2}+y^{2}-2S=23
e, como S=9,
x^{2}+y^{2}-2\cdot9=23 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=23+18=41.

Passo 3

Agora use a identidade
(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy.
Como x+y=S=9 e x^{2}+y^{2}=41, temos
9^{2}=41+2\,xy \quad\Longrightarrow\quad 81=41+2\,xy \quad\Longrightarrow\quad 2\,xy=40 \quad\Longrightarrow\quad xy=20.

Passo 4

Sabendo que x+y=9 e xy=20, podemos ver x e y como raízes da equação quadrática
t^{2} - (x+y)\,t + xy = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2} - 9\,t + 20 = 0.
O discriminante é
\Delta = 9^{2}-4\cdot1\cdot20 = 81-80=1,
logo as raízes são
t = \frac{9\pm\sqrt{1}}{2} = \frac{9\pm1}{2},
isto é,
t_{1}=5, \quad t_{2}=4.

Passo 5

Como (x,y) é um par ordenado cuja soma é 9 e o produto é 20, as soluções do sistema são
(x,y)=(5,4) \quad\text{ou}\quad (x,y)=(4,5).

Resposta

(x,y)=(5,4) ou (x,y)=(4,5).

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