Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando o Método da Matriz Inversa: 5 x-2 y & =4 3 x-y & =3

Passo 1

Então, a gente tem um sistema de equações lineares pra resolver usando o Método da Matriz Inversa. Nosso sistema é:
5x - 2y &= 4 3x - y &= 3
Vamos precisar entender como montar a matriz dos coeficientes, calcular a sua inversa e, por fim, multiplicar essa inversa pelo vetor dos termos constantes pra achar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos constantes. A matriz dos coeficientes é formada pelos números que estão na frente das incógnitas nas equações:
A = 5 & -2 3 & -1
E o vetor dos termos constantes é:
B = 4 3

Passo 3

Agora, precisamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . Para uma matriz det(A) = a cdot d - b cdot c = 5 cdot (-1) - (-2) cdot 3 = -5 + 6 = 1 como essa, a fórmula da inversa é:
A^-1 = 11 -1 & 2 -3 & 5 = -1 & 2 -3 & 5
onde , , , e .
Primeiro, vamos achar o determinante de :
Como o determinante não é zero, a matriz inversa existe. Então,

Passo 4

Com a matriz inversa encontrada, vamos multiplicá-la pelo vetor X = A^-1 cdot B = -1 & 2 -3 & 5 cdot 4 3 pra achar x = (-1) cdot 4 + 2 cdot 3 = -4 + 6 = 2 , que é o vetor das incógnitas y = (-3) cdot 4 + 5 cdot 3 = -12 + 15 = 3 e :
Vamos fazer a multiplicação:

Resposta

As soluções do sistema são e .

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