Resolva os seguintes sistemas pelo método de eliminação de Gauss ou de Gauss-Jordan, dando quando for possível seu grau de liberdade.
(g) 5 x1+8 x2+15 x3 & = -7 3 x1+5 x2+9 x3 & = x1+2 x2+3 x3 & = & 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. O enunciado nos dá um sistema com três equações e três incógnitas ( 5x1 + 8x2 + 15x3 = -7 3x1 + 5x2 + 9x3 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 = 3 , , ). Para resolver, vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e usar operações elementares para simplificar até encontrar os valores das incógnitas ou identificar se há infinitas soluções.
As equações são:

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema:
5 & 8 & 15 & | & -7 3 & 5 & 9 & | & 0 1 & 2 & 3 & | & 3
A ideia é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal há apenas zeros. Para isso, vamos usar operações elementares de linha.

Passo 3

Vamos começar eliminando o Linha2 = Linha2 - (35 times Linha1) das segunda e terceira linhas.
Primeiro, vamos zerar o 35 times Linha1 = (3, 245, 9, |, -215) da segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por Linha2 = (3, 5, 9, |, 0) - (3, 245, 9, |, -215) = (0, 15, 0, |, 215) e subtraímos da segunda linha:
5 & 8 & 15 & | & -7 0 & 15 & 0 & | & 215 1 & 2 & 3 & | & 3
Calculando:
Agora, nossa matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos zerar o Linha3 = Linha3 - (15 times Linha1) da terceira linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 15 times Linha1 = (1, 85, 3, |, -75) e subtraímos da terceira linha:
Linha3 = (1, 2, 3, |, 3) - (1, 85, 3, |, -75) = (0, 25, 0, |, 225)
Calculando:
5 & 8 & 15 & | & -7 0 & 15 & 0 & | & 215 0 & 25 & 0 & | & 225
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda e terceira linhas para facilitar. Podemos multiplicar a segunda linha por 5 para eliminar a fração:
Linha2 = 5 times Linha2 = (0, 1, 0, |, 21)
E multiplicar a terceira linha por 5 também:
Linha3 = 5 times Linha3 = (0, 2, 0, |, 22)
Nossa matriz fica:
5 & 8 & 15 & | & -7 0 & 1 & 0 & | & 21 0 & 2 & 0 & | & 22

Passo 6

Agora, vamos eliminar o Linha3 = Linha3 - 2 times Linha2 da terceira linha. Para isso, multiplicamos a segunda linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
2 times Linha2 = (0, 2, 0, |, 42)
Calculando:
Linha3 = (0, 2, 0, |, 22) - (0, 2, 0, |, 42) = (0, 0, 0, |, -20)
5 & 8 & 15 & | & -7 0 & 1 & 0 & | & 21 0 & 0 & 0 & | & -20
A matriz agora é:

Passo 7

Vamos analisar a última linha da matriz:
0x1 + 0x2 + 0x3 = -20
Isso significa que , o que é uma contradição. Portanto, o sistema não possui solução. Não há valores de , e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente.

Resposta

O sistema não possui solução, ou seja, é impossível encontrar valores para , e que satisfaçam todas as equações ao mesmo tempo.

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