Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros alpha, beta, gamma, a, b e c.
(b) cx+y+beta z=1 x+2 y+z=2 2 x+5 y-3 z=gamma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
x + y + beta z = 1 x + 2y + z = 2 2x + 5y - 3z = gamma
Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de solução esse sistema tem, dependendo dos valores dos parâmetros e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos sistemas de equações e suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de uma matriz de coeficientes e uma matriz aumentada. A matriz de coeficientes é formada pelos números que estão na frente das incógnitas, e a matriz aumentada inclui também os termos independentes (as constantes do lado direito das equações).
Matriz de coeficientes A = 1 & 1 & beta 1 & 2 & 1 2 & 5 & -3 :
[A|B] = 1 & 1 & beta & | & 1 1 & 2 & 1 & | & 2 2 & 5 & -3 & | & gamma
Matriz aumentada :

Passo 3

Para determinar o tipo de solução do sistema, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes det(A) = 1 cdot (2 cdot (-3) - 1 cdot 5) - 1 cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot 2) + beta cdot (1 cdot 5 - 2 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos valores de det(A) = 1 cdot (-6 - 5) - 1 cdot (-3 - 2) + beta cdot (5 - 4) .
Vamos calcular o determinante det(A) = 1 cdot (-11) - 1 cdot (-5) + beta cdot 1 :
det(A) = -11 + 5 + beta
Fazendo as contas:
det(A) = -6 + beta

Passo 4

Agora, vamos analisar o determinante :
  1. Se , ou seja, , o sistema tem uma solução única. Isso acontece quando .
  2. Se , ou seja, , o que dá , precisamos verificar o valor de para determinar se há nenhuma solução ou infinitas soluções.
    • Caso 1: Se e ao resolver as equações com esse valor, encontrarmos uma contradição (como algum número diferente de zero), então o sistema não tem solução.
    • Caso 2: Se e as equações forem compatíveis (por exemplo, uma das equações pode ser obtida das outras), então o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema tem uma solução única para qualquer valor de quando . Quando , o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções, dependendo do valor de .

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