Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros e .
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
x + y + beta z = 1 x + 2y + z = 2 2x + 5y - 3z = gamma
Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de solução esse sistema tem, dependendo dos valores dos parâmetros e . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde estudamos sistemas de equações e suas soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema na forma de uma matriz de coeficientes e uma matriz aumentada. A matriz de coeficientes é formada pelos números que estão na frente das incógnitas, e a matriz aumentada inclui também os termos independentes (as constantes do lado direito das equações).
Para determinar o tipo de solução do sistema, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes det(A) = 1 cdot (2 cdot (-3) - 1 cdot 5) - 1 cdot (1 cdot (-3) - 1 cdot 2) + beta cdot (1 cdot 5 - 2 cdot 2) . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma solução única. Se for zero, pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos valores de det(A) = 1 cdot (-6 - 5) - 1 cdot (-3 - 2) + beta cdot (5 - 4) .
Se , ou seja, , o sistema tem uma solução única. Isso acontece quando .
Se , ou seja, , o que dá , precisamos verificar o valor de para determinar se há nenhuma solução ou infinitas soluções.
Caso 1: Se e ao resolver as equações com esse valor, encontrarmos uma contradição (como algum número diferente de zero), então o sistema não tem solução.
Caso 2: Se e as equações forem compatíveis (por exemplo, uma das equações pode ser obtida das outras), então o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
O sistema tem uma solução única para qualquer valor de quando . Quando , o sistema pode não ter solução ou ter infinitas soluções, dependendo do valor de .