Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(t)\left\{\begin{aligned}x+2 y-5 z+4 t & =0 \\\\ 2 x-3 y+2 z+3 t & =0, \\\\ 4 x-7 y+z-6 t & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por Gauss–Jordan, o sistema
\begin{cases} x + 2y - 5z + 4t = 0,\\\\ 2x - 3y + 2z + 3t = 0,\\\\ 4x - 7y + z - 6t = 0, \end{cases}
onde t é um parâmetro. O conteúdo é eliminação de variáveis com matriz aumentada. Nosso objetivo é expressar x,y,z em função de t e identificar se há solução única, infinitas ou nenhuma.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada em relação a (x,y,z), levando os termos com t para o segundo membro:
\bigl[\,A\mid b\,\bigr] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & \vline & -4t\\\\ 2 & -3 & 2 & \vline & -3t\\\\ 4 & -7 & 1 & \vline & 6t \end{pmatrix}.
Eliminamos x em 2ª e 3ª linhas:
L_2\leftarrow L_2-2L_1
L_3\leftarrow L_3-4L_1
obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & \vline & -4t\\\\ 0 & -7 & 12 & \vline & \;5t\\\\ 0 & -15 & 21 & \vline & 22t \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora eliminamos y em L_3 usando L_2. O pivô em L_2 é -7, então fazemos
L_3\leftarrow L_3 - \frac{15}{7}L_2
e achamos
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & \vline & -4t\\\\ 0 & -7 & 12 & \vline & 5t\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{33}{7} & \vline & \tfrac{79}{7}t \end{pmatrix}.
Multiplicando a última linha por 7 dá o pivô de z:
0\,x+0\,y-33\,z = 79\,t.

Passo 4

Fazemos agora retro-substituição:
— Da 3ª linha,
-33\,z = 79\,t \quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{79}{33}\,t.
— Da 2ª linha,
-7\,y +12\,z = 5\,t \quad\Longrightarrow\quad -7\,y = 5\,t -12\Bigl(-\tfrac{79}{33}t\Bigr) = \frac{371}{11}t \quad\Longrightarrow\quad y = -\frac{53}{11}\,t.
— Da 1ª linha,
x +2y -5z = -4t \quad\Longrightarrow\quad x = -4t -2\Bigl(-\tfrac{53}{11}t\Bigr)+5\Bigl(-\tfrac{79}{33}t\Bigr) = -4t - \frac{7}{3}\,t.

Passo 5

Como chegamos a uma expressão única para (x,y,z) em função de t, o sistema é sempre compatível e tenho solução única (para cada valor de t, há exatamente um triplo (x,y,z)).

Resposta

x = -4t - \frac{7}{3}\,t,\quad y = -\frac{53}{11}\,t,\quad z = -\frac{79}{33}\,t.
O sistema é compatível determinado.

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