Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(v)\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-3 z+2 t & =2 \\\\ 2 x+5 y-8 z+6 t & =5, \\\\ 3 x+4 y-5 z+2 t & =4\end{array},\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
(v)\;\begin{cases} x+2y-3z+2t = 2,\\\\ 2x+5y-8z+6t = 5,\\\\ 3x+4y-5z+2t = 4 \end{cases}
pelo Método de Gauss–Jordan e classificá-lo. O conteúdo usado é eliminação de Gauss–Jordan para encontrar a forma reduzida por linhas, identificando variáveis pivô e livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos abaixo do pivô na coluna 1:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\\\ 2 & 5 & -8 & 6 & 5\\\\ 3 & 4 & -5 & 2 & 4 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_2\gets R_2-2R_1,\;R_3\gets R_3-3R_1}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 \end{array}\right].

Passo 3

Usamos o pivô em (2,2)\) para zerar as outras entradas na coluna 2: \[\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -3 & 2 & 2\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & -2 & 4 & -4 & -2 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_1\gets R_1-2R_2,\;R_3\gets R_3+2R_2}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & -2 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Da forma reduzida temos
\begin{cases} x + z - 2t = 0,\\\ y - 2z + 2t = 1. \end{cases}
As variáveis z\] e \(t são livres; pivot são x e y.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado (infinitas soluções).
A solução geral, usando parâmetros z=\lambda, t=\mu, é
x = -\lambda + 2\mu,\quad y = 1 + 2\lambda - 2\mu,\quad z = \lambda,\quad t = \mu,
com \lambda,\mu\in\mathbb{R}.

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