Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(t)\left\{\begin{array}{rl}x+2 y-5 z+4 t & =0 \\\\ 2 x-3 y+2 z+3 t & =0 \\\\ 4 x-7 y+z-6 t & =0\end{array},\right.

Passo 1

Temos o sistema linear em função do parâmetro t\) e incógnitas \(x,y,z\): \[\begin{cases} x + 2y -5z +4t = 0,\\\\ 2x -3y +2z +3t = 0,\\\\ 4x -7y +z -6t = 0.
O objetivo é usar o método de Gauss–Jordan para encontrar (x,y,z)\] em função de \(t e classificar o sistema (se é possível e determinado, possível indeterminado ou impossível).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos a coluna de x em R2 e R3 usando R2←R2− 2\cdotR1 e R3←R3− 4\cdotR1:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & \vrule & -4t\\[6pt] 2 & -3 & 2 & \vrule & -3t\\[6pt] 4 & -7 & 1 & \vrule & 6t \end{pmatrix} \;\xrightarrow{R2-2R1,\;R3-4R1}\; \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & \vrule & -4t\\[6pt] 0 & -7 & 12 & \vrule & 5t\\[6pt] 0 & -15 & 21 & \vrule & 22t \end{pmatrix}]

Passo 3

Agora eliminamos o termo em y da terceira linha com R3←R3− \tfrac{15}{7}·R2, e obtemos equação só em z:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 & \vrule & -4t\\[4pt] 0 & -7 & 12 & \vrule & 5t\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{33}{7} & \vrule & \tfrac{79}{7}\,t \end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{33}{7}\,z=\frac{79}{7}\,t \quad\Longrightarrow\quad z=-\frac{79}{33}\,t.]

Passo 4

Fazendo substituição regressiva na segunda linha -7y+12z=5t e depois na primeira x+2y-5z+4t=0, obtemos
y=-\frac{53}{11}\,t, \qquad x=-\frac{19}{3}\,t.

Resposta

O sistema é possível e determinado para todo t\in\mathbb{R}, com solução
\boxed{ (x,y,z) =\Bigl(-\tfrac{19}{3}\,t,\,-\tfrac{53}{11}\,t,\,-\tfrac{79}{33}\,t\Bigr). }

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