Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{l}x+y+z+t=0 \\\ x+3 y+z-t=4 \\\ x+y-z+t=-4 \\\ x-2 y+z+t=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas
\begin{cases} x+y+z+t=0,\\\ x+3y+z-t=4,\\\ x+y-z+t=-4,\\\ x-2y+z+t=2, \end{cases}
e pede para resolver usando o Método de Gauss–Jordan e classificar o sistema. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha para chegar à forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid \mathbf b\bigr]:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 3 & 1 & -1 & 4\\\\ 1 & 1 & -1 & 1 & -4\\\\ 1 & -2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right].
Usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo em x:
R2 ← R2–R1,
R3 ← R3–R1,
R4 ← R4–R1.
Isso leva a
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0 & -2 & 4\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & -3 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right].

Passo 3

Agora o pivô de y está em R2, coluna 2.
Escalamos R2 para ter 1 no pivô: R2 ← \tfrac12R2, obtendo
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & -3 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right].
Zeramos a coluna de y em R1 e R4:
R1 ← R1–R2,
R4 ← R 4+3 R2,
ficando
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 8 \end{array}\right].

Passo 4

O próximo pivô é o de z em R3, coluna 3.
Escalamos R3: R3 ← -\tfrac12R3, obtendo o 1 na posição (3,3):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 & -2\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 8 \end{array}\right].
Zeramos a coluna de z em R1: R1 ← R1–R3, resultando
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 & -4\\\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & -3 & 8 \end{array}\right].

Passo 5

Finalmente, o pivô de t está em R4, coluna 4.
Escalamos R4: R4 ← -\tfrac13R4, e depois zeramos a coluna 4 em R1 e R2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{4}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -\tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{8}{3} \end{array}\right].
Daqui lemos imediatamente
x=\tfrac{4}{3},\quad y=-\tfrac{2}{3},\quad z=2,\quad t=-\tfrac{8}{3}.

Resposta

O sistema é compatível determinado (única solução):
x=\tfrac{4}{3},\quad y=-\tfrac{2}{3},\quad z=2,\quad t=-\tfrac{8}{3}.

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