Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
(i)\left\{\begin{array}{rl}x+2 y+3 z & =0 \\\\ 2 x+y+3 z & =0 \\\\ 3 x+2 y+z & =0\end{array}\right.,

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
\begin{cases} x+2y+3z=0,\\\\ 2x+y+3z=0,\\\\ 3x+2y+z=0 \end{cases}
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida e, em seguida, obter a solução e classificar o sistema (possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\mid\mathbf{b}\bigr]:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
R _2 \leftarrowR _2 -2,R _1, R _3 \leftarrowR _3 -3,R _1.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & -3 & -3 & 0\\\\ 0 & -4 & -8 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Tornamos o pivô da segunda linha igual a 1 dividindo R _2 por -3:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -4 & -8 & 0 \end{array}\right].

Passo 5

Eliminamos a entrada abaixo do pivô da segunda coluna:
R _3 \leftarrowR _3 +4,R _2.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Tornamos o pivô da terceira linha igual a 1 dividindo R _3 por -4:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Retroeliminamos para anular acima do pivô da terceira coluna:
R _2 \leftarrowR _2 -R _3, R _1 \leftarrowR _1 -3,R _3.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 8

Em seguida, anula-se o termo acima do pivô da segunda coluna:
R _1 \leftarrowR _1 -2,R _2.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Dessa forma, obtemos diretamente
x=0,\quad y=0,\quad z=0.

Passo 9

Como o sistema homogêneo só admite a solução trivial e não há parâmetros livres, ele é possível e determinado.

Resposta

(x,y,z)=(0,0,0), sistema possível e determinado.

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