Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+2 y+3 z & =-6 \\\\ 2 x-3 y-4 z & =15 \\\\ 3 x+4 y+5 z & =-8\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + 2y + 3z = -6,\\\\ 2x -3y -4z = 15,\\\\ 3x +4y +5z = -8 \end{cases}
pelo método de Gauss–Jordan e dizer se ele é compatível determinado, compatível indeterminado ou impossível. Vamos montar a matriz aumentada e reduzi-la à forma reduzida por linhas.

Passo 2

Escrevendo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\\\ 2 & -3 & -4 & 15\\\\ 3 & 4 & 5 & -8 \end{array}\right]
O objetivo é usar operações elementares para chegar à forma em que a parte esquerda vire a matriz identidade.

Passo 3

Eliminamos x das linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
R_2 \gets R_2 - 2R_1,\quad R_3 \gets R_3 - 3R_1.
Isso leva a
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & -6\\\\ 0 & -7 & -10 & 27\\\\ 0 & -2 & -4 & 10 \end{array}\right].

Passo 4

Agora tomamos a linha 2 como pivô em y. Primeiro normalizamos:
R_2 \gets \frac{1}{-7}R_2 \;\Longrightarrow\; R_2 =\bigl[\,0\;1\;\tfrac{10}{7}\;\bigm|\;-\,\tfrac{27}{7}\bigr].
Em seguida eliminamos y nas linhas 1 e 3:
R_1 \gets R_1 - 2R_2,\quad R_3 \gets R_3 + 2R_2.
Fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{1}{7} & \tfrac{12}{7}\\\\ 0 & 1 & \tfrac{10}{7} & -\tfrac{27}{7}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{8}{7} & \tfrac{16}{7} \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, usamos a linha 3 como pivô em z. Normalizamos:
R_3 \gets \Bigl(-\tfrac{7}{8}\Bigr) R_3 \;\Longrightarrow\; R_3 = [\,0\;0\;1\mid -2\,].
E eliminamos z em R_1 e R_2:
R_1 \gets R_1 - \tfrac{1}{7}R_3,\quad R_2 \gets R_2 - \tfrac{10}{7}R_3.
O resultado final é a matriz identidade à esquerda:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right].
Dessa forma, lemos imediatamente
x = 2,\quad y = -1,\quad z = -2.

Resposta

O sistema é compatível determinado e sua solução é
(x,y,z) = (2,\,-1,\,-2).

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