Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\& (p)\left\{\begin{array}{rr}x+4 y-z= & 12 \\\\ 3 x+8 y-2 z= & 4\end{array},\right.)

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear a ser resolvido pelo método de Gauss–Jordan e pede também sua classificação:
\begin{cases} x + 4y - z = 12,\\\\ 3x + 8y - 2z = 4.
O conteúdo envolvido é eliminação de variáveis para obter a forma reduzida da matriz aumentada.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos x na segunda linha subtraindo 3 vezes a primeira linha:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\\\ 3 & 8 & -2 & 4 \end{array}\right) \\ \xrightarrow{\;L_2 \to L_2 - 3L_1\;} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\\\ 0 & -4 & 1 & -32 \end{array}\right).

Passo 3

Dividimos a segunda linha por -4 para tornar o pivô igual a 1 e depois eliminamos o coeficiente de y na primeira linha:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\\\ 0 & -4 & 1 & -32 \end{array}\right) \\ \xrightarrow{\;L_2 \to -\tfrac14 L_2\;} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\\\ 0 & 1 & -\tfrac14 & 8 \end{array}\right) \\ \xrightarrow{\;L_1 \to L_1 - 4L_2\;} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -20\\\\ 0 & 1 & -\tfrac14 & 8 \end{array}\right).

Passo 4

Da forma reduzida obtemos
x = -20,\quad y - \tfrac14 z = 8.
Tomando z como parâmetro livre t, temos
y = 8 + \tfrac14 t,\quad z = t,\quad x = -20.
Como o posto da matriz de coeficientes e o da aumentada são ambos 2 e há 3 incógnitas, o sistema é compatível indeterminado.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z)=\bigl(-20,\;8 + \tfrac14 t,\;t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).

Exercícios relacionados