Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}3 x+3 y-2 z-t & =2 \\\\ 5 x+2 y+z-2 t & =1 \\\\ 2 x-y+3 z-t & =-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por Gauss–Jordan, o sistema
\begin{cases} 3x+3y-2z-t=2,\\\\ 5x+2y+z-2t=1,\\\\ 2x-y+3z-t=-1, \end{cases}
e classificá-lo quanto ao número de soluções. O conteúdo é eliminação de Gauss–Jordan e teoria de posto de matriz para classificar se o sistema é compatível e, em caso afirmativo, se tem solução única ou infinitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada \bigl[A\mid b\bigr]:
\begin{pmatrix} 3 & 3 & -2 & -1 &\bigm|& 2\\\\ 5 & 2 & 1 & -2 &\bigm|& 1\\\\ 2 & -1 & 3 & -1 &\bigm|& -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Fazemos R_{1}\leftarrow\frac{1}{3}R_{1} para ter pivô 1 na primeira coluna:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} &\bigm|& \tfrac{2}{3}\\\\ 5 & 2 & 1 & -2 &\bigm|& 1\\\\ 2 & -1 & 3 & -1 &\bigm|& -1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos x em R_{2} e R_{3}: R_{2}\leftarrow R_{2}-5R_{1}, R_{3}\leftarrow R_{3}-2R_{1}.
Isso produz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} &\bigm|& \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & -3 & \tfrac{13}{3} & -\tfrac{1}{3} &\bigm|& -\tfrac{7}{3}\\\\ 0 & -3 & \tfrac{13}{3} & -\tfrac{1}{3} &\bigm|& -\tfrac{7}{3} \end{pmatrix}.

Passo 5

Como R_{3}=R_{2}, fazemos R_{3}\leftarrow R_{3}-R_{2}, gerando a linha zero. Ficamos com duas equações não-triviais.

Passo 6

Para ter pivô 1 em R_{2}, fazemos R_{2}\leftarrow -\tfrac{1}{3}R_{2}, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -\tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} &\bigm|& \tfrac{2}{3}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{13}{9} & \tfrac{1}{9} &\bigm|& \tfrac{7}{9}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\bigm|& 0 \end{pmatrix}.
Em seguida, zeramos o y em R_{1} com R_{1}\leftarrow R_{1}-R_{2}, resultando na forma reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \tfrac{7}{9} & -\tfrac{4}{9} &\bigm|& -\tfrac{1}{9}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{13}{9} & \tfrac{1}{9} &\bigm|& \tfrac{7}{9}\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 &\bigm|& 0 \end{pmatrix}.

Passo 7

Da forma reduzida vemos que x e y são variáveis básicas, e que as colunas de z e t não têm pivô, logo são livres. Há 2 pivôs em 4 variáveis, então o posto é 2 e o sistema tem infinitas soluções.

Passo 8

Chamemos
z=\lambda,\quad t=\mu,
com \lambda,\mu\in\mathbb R. Das duas primeiras linhas da forma reduzida:
\begin{cases} x + \tfrac{7}{9}\,z - \tfrac{4}{9}\,t = -\tfrac{1}{9},\\[6pt] y - \tfrac{13}{9}\,z + \tfrac{1}{9}\,t = \tfrac{7}{9}, \end{cases}
temos
x = -\tfrac{1}{9} - \tfrac{7}{9}\,\lambda + \tfrac{4}{9}\,\mu, \quad y = \tfrac{7}{9} + \tfrac{13}{9}\,\lambda - \tfrac{1}{9}\,\mu.]

Passo 9

Portanto o conjunto solução é
\bigl(x,y,z,t\bigr) = \Bigl( -\tfrac{1}{9}-\tfrac{7}{9}\,\lambda+\tfrac{4}{9}\,\mu,\; \tfrac{7}{9}+\tfrac{13}{9}\,\lambda-\tfrac{1}{9}\,\mu,\; \lambda,\;\mu \Bigr),
com parâmetros \lambda,\mu\in\mathbb R.
Classificação: sistema compatível indeterminado (infinitas soluções, posto 2<4,).

Resposta

x = -\tfrac{1}{9} - \tfrac{7}{9}\,\lambda + \tfrac{4}{9}\,\mu,\quad y = \tfrac{7}{9} + \tfrac{13}{9}\,\lambda - \tfrac{1}{9}\,\mu,\quad z = \lambda,\quad t = \mu,\quad \lambda,\mu\in\mathbb R.
Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).

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