Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\& (r)\left\{\begin{array}{rl}2 x-y+z-t & =4 \\\\ 3 x+2 y-z+2 t & =1 \\\\ 2 x-y-z-t & =0 \\\\ 5 x & +2 t=1\end{array},\right.)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z,t e pede para usarmos o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada e, por meio de operações elementares sobre linhas, chegar à forma reduzida por linhas (RREF). A partir dessa forma, lemos a solução diretamente e classificamos o sistema (possível e determinado, possível indeterminado ou impossível).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada (A\mid b) e escolhemos o elemento da posição (1,1) como primeiro pivô. Dividimos a linha 1 por 2 e eliminamos as entradas abaixo na coluna 1:
L1 \leftarrow L1 /\!2
L2 \leftarrow L2 - 3 L1
L3 \leftarrow L3 - 2 L1
L4 \leftarrow L4 - 5 L1
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -\tfrac12 & \tfrac12 & -\tfrac12 & 2\\\\ 0 & \tfrac72 & -\tfrac52 & \tfrac72 & -5\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & \tfrac52 & -\tfrac52 & \tfrac92 & -9 \end{array}\right]

Passo 3

Agora o pivô é o elemento \tfrac72 em (2,2). Normalizamos a linha 2 e eliminamos acima e abaixo na coluna 2:
L2 \leftarrow \tfrac{2}{7} L2
L1 \leftarrow L1 +\tfrac12 L2
L4 \leftarrow L4 -\tfrac52 L2
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & \tfrac17 & 0 & \tfrac97\\\\ 0 & 1 & -\tfrac57 & 1 & -\tfrac{10}7\\\\ 0 & 0 & -2 & 0 & -4\\\\ 0 & 0 & -\tfrac57 & 2 & -\tfrac{38}7 \end{array}\right]

Passo 4

O pivô seguinte é -2 em (3,3). Fazemos
L3 \leftarrow -\tfrac12 L3
e eliminamos na coluna 3:
L1 \leftarrow L1 -\tfrac17 L3
L2 \leftarrow L2 +\tfrac57 L3
L4 \leftarrow L4 +\tfrac57 L3
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -4 \end{array}\right]

Passo 5

Por fim, o pivô em (4,4) é 2. Normalizamos L4 e eliminamos acima em coluna 4:
L4 \leftarrow \tfrac12 L4
L2 \leftarrow L2 - L4
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right]

Resposta

A forma reduzida mostra solução única
x=1,\quad y=2,\quad z=2,\quad t=-2.
Portanto, o sistema é possível e determinado.

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