Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{r}x+5 y+4 z-13 t=3 \\\\ 3 x-y+2 z+5 t=2 \\\\ 2 x+2 y+3 z-4 t=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema linear
\begin{cases} x + 5y + 4z - 13t = 3,\\\\ 3x - y + 2z + 5t = 2,\\\\ 2x + 2y + 3z - 4t = 1, \end{cases}
e classificá-lo (única solução, infinitas soluções ou nenhum solução). Vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares para levar ao escalonamento reduzido.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e eliminamos os coeficientes abaixo do pivô da primeira coluna (usar R_i\leftarrow R_i - k\,R_1):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\\\ 3 & -1 & 2 & 5 & 2\\\\ 2 & 2 & 3 & -4 & 1 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_2\leftarrow R_2-3R_1,\;R_3\leftarrow R_3-2R_1}\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\\\ 0 & -16 & -10 & 44 & -7\\\\ 0 & -8 & -5 & 22 & -5 \end{array}\right]

Passo 3

Agora usamos o segundo pivô (coluna 2, linha 2) para zerar o elemento abaixo dele em R_3. Como R_3 tem -8 e R_2 tem -16, fazemos R_3\leftarrow R_3 - \tfrac12R_2:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 5 & 4 & -13 & 3\\\\ 0 & -16 & -10 & 44 & -7\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1{,}5 \end{array}\right]

Passo 4

A última linha equivale à equação
0x + 0y + 0z + 0t = -1{,}5,
ou seja 0 = -1{,}5, que é uma contradição. Isso mostra que o sistema é inconsistente e não admite solução.

Resposta

O sistema é inconsistente, logo não tem solução.

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