Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{array}{rl}x+y-3 z+t & =1 \\\\ 3 x+3 y+z+2 t & =0 \\\\ 2 x+y+z-2 t & =4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver um sistema linear de 3 equações e 4 incógnitas por Gauss–Jordan e, em seguida, classificar o tipo de solução. Vamos montar a matriz aumentada, levar à forma reduzida por linhas (RREF) e ler a solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e zeramos abaixo do pivô em (1,1):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & 1 & 1\\\\ 3 & 3 & 1 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & -2 & 4 \end{array}\right] \quad R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1
\longrightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & 1 & 1\\\\ 0 & 0 & 10 & -1 & -3\\\\ 0 & -1 & 7 & -4 & 2 \end{array}\right]

Passo 3

Para ter pivô não nulo na coluna 2, trocamos R_2 e R_3, normalizamos R_2 e eliminamos acima:
R_2 \leftrightarrow R_3 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -3 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 7 & -4 & 2\\\\ 0 & 0 & 10 & -1 & -3 \end{array}\right],\quad R_2\leftarrow -1\cdot R_2,\quad R_1\leftarrow R_1 - R_2
\longrightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 4 & -3 & 3\\\\ 0 & 1 & -7 & 4 & -2\\\\ 0 & 0 & 10 & -1 & -3 \end{array}\right]

Passo 4

Normalizamos o pivô em R_3 e eliminamos as outras entradas da coluna 3:
R_3 \leftarrow \tfrac{1}{10}R_3,\quad R_1 \leftarrow R_1 - 4\,R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 + 7\,R_3
\longrightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{13}{5} & \tfrac{21}{5}\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{33}{10} & -\tfrac{41}{10}\\\\ 0 & 0 & 1 & -\tfrac{1}{10} & -\tfrac{3}{10} \end{array}\right]

Passo 5

Na forma reduzida, t é livre. Chamando t=\lambda, temos
x = \tfrac{21}{5} + \tfrac{13}{5}\lambda,\quad y = -\tfrac{41}{10} - \tfrac{33}{10}\lambda,\quad z = -\tfrac{3}{10} + \tfrac{1}{10}\lambda,\quad t = \lambda.

Resposta

(x,y,z,t) =\Bigl(\tfrac{21}{5}+\tfrac{13}{5}\lambda,\; -\tfrac{41}{10}-\tfrac{33}{10}\lambda,\; -\tfrac{3}{10}+\tfrac{1}{10}\lambda,\; \lambda\Bigr),\quad \lambda\in\mathbb{R}.
O sistema é subdeterminado e admite infinitas soluções (grau de liberdade 1).

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