Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned} x+2 y+3 z & =0 \\\\ 2 x+y+3 z & =0, \\\\ 3 x+2 y+z & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

Estamos diante de um sistema homogêneo de três equações e três incógnitas
\begin{cases} x + 2y + 3z = 0,\\\\ 2x + y + 3z = 0,\\\\ 3x + 2y + 1z = 0. \end{cases}
O que vamos fazer é usar o Método de Gauss–Jordan: montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares para chegar à forma reduzida (RREF) e, em seguida, extrair a solução e classificar o sistema (se é compatível determinado, indeterminado ou impossível).

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e usamos a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{array}\right] \;\xrightarrow{R_2\gets R_2-2R_1,\;R_3\gets R_3-3R_1}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & -3 & -3 & 0\\\\ 0 & -4 & -8 & 0 \end{array}\right]

Passo 3

Agora normalizamos a segunda linha para ter pivô igual a 1 na coluna 2:
R_2\gets \tfrac{1}{-3}R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & -4 & -8 & 0 \end{array}\right]

Passo 4

Eliminamos as outras entradas na coluna 2 usando o pivô de R_2:
R_1\gets R_1-2R_2,\quad R_3\gets R_3+4R_2 \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0 \end{array}\right]

Passo 5

Finalmente, normalizamos a terceira linha e zeramos acima para a coluna 3:
R_3\gets -\tfrac14R_3 \;\xrightarrow{\substack{R_1\gets R_1-R_3\R_2\gets R_2-R_3}}\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 6

Chegamos à forma reduzida (RREF), de onde se lê diretamente
x = 0,\quad y = 0,\quad z = 0.
Como a matriz de coeficientes ficou com posto 3 (igual ao número de incógnitas) e o sistema é homogêneo, ele é compatível determinado (única solução trivial).

Resposta

x=0,\;y=0,\;z=0. O sistema é compatível determinado.

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