Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned}3 x+2 y+z & =2 \\\\ 4 x+2 y+2 z & =8, \\\ x-y+z & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} 3x + 2y + z = 2,\\\\ 4x + 2y + 2z = 8,\\\ x - y + z = 4 \end{cases}
usando o método de Gauss–Jordan e então classificá-lo. Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações elementares até obter a forma reduzida, de onde extraímos a solução e determinamos se o sistema é possível e determinado.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e, para facilitar, trocamos R_1 com R_3 de modo a ter pivô 1 na primeira linha:
\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 2\\\\ 4 & 2 & 2 & 8\\\\ 1 & -1 & 1 & 4 \end{array}\right] \quad\overset{R_1\leftrightarrow R_3}{\longrightarrow}\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\\\ 4 & 2 & 2 & 8\\\\ 3 & 2 & 1 & 2 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô da coluna 1 usando
R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1,
o que dá
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\\\ 0 & 6 & -2 & -8\\\\ 0 & 5 & -2 & -10 \end{array}\right]

Passo 4

O pivô seguinte é o 6 em (2,2). Dividimos R_2 por 6 e em seguida eliminamos a coluna 2 em R_1 e R_3:
R_2 \leftarrow \frac{1}{6}R_2: \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 4\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\\\ 0 & 5 & -2 & -10 \end{array}\right],
R_1 \leftarrow R_1 + R_2,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 5R_2 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{4}{3} & \tfrac{8}{3}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{4}{3}\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{10}{3} \end{array}\right]

Passo 5

Agora o pivô em (3,3) é -\tfrac{1}{3}. Multiplicamos R_3 por -3 e eliminamos a coluna 3 em R_1 e R_2:
R_3 \leftarrow -3R_3,\quad R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{4}{3}R_3,\quad R_2 \leftarrow R_2 + \tfrac{1}{3}R_3 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -\tfrac{32}{3}\\\\ 0 & 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 0 & 1 & 10 \end{array}\right]

Passo 6

Na forma reduzida lemos diretamente
x = -\tfrac{32}{3},\quad y = 2,\quad z = 10.
Como obtemos exatamente uma solução, o sistema é possível e determinado.

Resposta

x = -\tfrac{32}{3},\quad y = 2,\quad z = 10.
Classificação: sistema possível e determinado.

Exercícios relacionados