Resolva os seguintes sistemas utilizando o Método de Gauss-Jordan. Classifique-os.
\left\{\begin{aligned}x+2 y-5 z+4 t & =0 \\\\ 2 x-3 y+2 z+3 t & =0, \\\\ 4 x-7 y+z-6 t & =0\end{aligned}\right.

Passo 1

Estamos diante do sistema homogêneo
\begin{cases} x + 2y - 5z + 4t = 0,\\\\ 2x - 3y + 2z + 3t = 0,\\\\ 4x - 7y + z - 6t = 0,
e vamos resolvê-lo pelo método de Gauss-Jordan para obter a forma reduzida da matriz aumentada e, em seguida, encontrar a solução geral e classificar o sistema.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e zeramos as entradas abaixo do pivô da primeira coluna:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 2 & -3 & 2 & 3 & 0\\\\ 4 & -7 & 1 & -6& 0 \end{array}\right]
Fazendo R_2 \gets R_2 - 2R_1 e R_3 \gets R_3 - 4R_1, obtemos
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 0 & -7 & 12 & -5 & 0\\\\ 0 &-15 & 21 & -22 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Agora pivoteamos na segunda coluna: dividimos R_2 por -7 e eliminamos a entrada de R_3:
R_2 \gets -\tfrac1{7}R_2,\quad R_3 \gets R_3 + 15\,R_2 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{12}{7} & \tfrac{5}{7} & 0\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{33}{7}& -\tfrac{79}{7} & 0 \end{array}\right].
Em seguida, dividimos R_3 por -33/7 para criar o pivô na terceira coluna:
R_3 \gets -\tfrac{7}{33}R_3 \;\Longrightarrow\; \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -5 & 4 & 0\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{12}{7} & \tfrac{5}{7} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{79}{33} & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Fazemos a eliminação acima dos pivôs para chegar à forma reduzida por linhas (RREF):
  1. R_2 \gets R_2 + \tfrac{12}{7}R_3 e R_1 \gets R_1 + 5\,R_3 para zerar as colunas de z em R_2 e R_1.
  2. R_1 \gets R_1 - 2\,R_2 para zerar a coluna de y em R_1.
O resultado é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{209}{33} & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{371}{77} & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{79}{33} & 0 \end{array}\right].
Das três equações-pivô obtemos
\begin{cases} x + \tfrac{209}{33}\,t = 0,\\\ y + \tfrac{371}{77}\,t = 0,\\\ z + \tfrac{79}{33}\,t = 0, \end{cases}
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x = -\tfrac{209}{33}\,t,\quad y = -\tfrac{371}{77}\,t = -\tfrac{53}{11}\,t,\quad z = -\tfrac{79}{33}\,t,\quad t\text{ livre}.

Passo 5

Como o sistema é homogêneo e o posto da matriz de coeficientes é 3<4 (há 4 incógnitas), ele é compatível indeterminado e tem infinitas soluções, formando um espaço de dimensão 1.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z,t) \;=\;\lambda\Bigl(-\tfrac{209}{33},\,-\tfrac{53}{11},\,-\tfrac{79}{33},\,1\Bigr),\quad \lambda\in\mathbb{R},
ou seja, o sistema é compatível indeterminado com uma família de soluções unidimensional.

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