Resolva o sistema abaixo, por laplace(0,7 ponto).
1
d P1d t & =-2 a P1+b P2+c P3 d P2d t & =-b P2+a P1 d P3d t & =-c P3+a P1 Pi(0) & =alphai, forall i=1,2,3
Verifique também que para todo alpha1, alpha2, alpha3, tais que:
alpha1, alpha2, alpha3 & in[0,1] subset R e alpha1+alpha2+alpha3 & =1
então,

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Laplace, o sistema de EDOs lineares
dP1dt=-2aP1+bP2+cP3,[6pt] dP2dt=-bP2+aP1,[3pt] dP3dt=-cP3+aP1, Pi(0)=alphai,;i=1,2,3
O conteúdo é “sistemas lineares com coeficientes constantes” e vamos usar a transformada de Laplace para transformar o sistema em um sistema algébrico em s, resolver para LPi e depois inverter via frações parciais.]

Passo 2

Aplique L,cdot, em cada equação, chamando
Xi(s)= LPi(t)(s)
Temos
sX1-alpha1=-2aX1+bX2+cX3, sX2-alpha2=-bX2+aX1, sX3-alpha3=-cX3+aX1
Reescrevendo:
(s+2a)X1-bX2-cX3=alpha1, -,aX1+(s+b)X2=alpha2, -,aX1+(s+c)X3=alpha3

Passo 3

Da segunda e terceira equações isolamos
X2=alpha2+aX1s+b, X3=alpha3+aX1s+c
Substituímos em
(s+2a)X1-bX2-cX3=alpha1
e obtemos, depois de colocar sobre o mesmo denominador,
X1(s) =alpha1(s+b)(s+c)+b(s+c)alpha2+c(s+b)alpha3 sl[s^2+(b+c+2a)s+(bc+a(b+c))r]
Denote
phi=b+c+2a, psi=bc+a(b+c), De<a=raiz(b-c)^2+4a^2
Os pólos não-nulos da transformada vêm das raízes de
s^2+phi s+psi=0 ;Longrightarrow; s=-rho+,,-rho-,
onde
rhopm=phipmDe<a2

Passo 4

Fazemos frações parciais em
X1(s) =N(s)s,(s+rho+)(s+rho-)
para obter
X1(s) =As +Bs+rho+ +Cs+rho-
Calcula-se
A=N(0)psi =bcpsi,
e B,C avaliando N(-rhopm) e dividindo pelos produtos adequados.
Ao inverter, usando
L^-11/s=1 e L^-11/(s+rho)=e^-rho t,
chegamos a
P1(t) =bcpsi + B,e^-rho+t + C,e^-rho-t

Passo 5

Para P2 e P3 reaplicamos o mesmo esquema ou usamos a propriedade de convolução (pois, por exemplo,
,P2'+bP2=aP1,):
P2(t) =alpha2e^-b t +aintegral0^te^-b(t-u)P1(u),du, P3(t) =alpha3e^-c t +aintegral0^te^-c(t-u)P1(u),du
No final, também ficam da forma
P2(t) =acpsi + B2,e^-rho+t + C2,e^-rho-t, P3(t) =abpsi + B3,e^-rho+t + C3,e^-rho-t,
com constantes Bi,Ci determinadas por alpha1,alpha2,alpha3.

Passo 6

Verifique que
ddtl[P1(t)+P2(t)+P3(t)r] =0
diretamente somando as EDOs. Como P1(0)+P2(0)+P3(0)=alpha1+alpha2+alpha3=1, segue
P1(t)+P2(t)+P3(t)=1 forall,t>=0

Resposta

Definindo
phi=b+c+2a, psi=bc+a(b+c), De<a=raiz(b-c)^2+4a^2, rhopm=phipmDe<a2,
as soluções são
P1(t) =bcpsi + B,e^-rho+t + C,e^-rho-t,
P2(t) =acpsi + B2,e^-rho+t + C2,e^-rho-t, P3(t) =abpsi + B3,e^-rho+t + C3,e^-rho-t,
once as constantes B,C,Bi,Ci são obtidas pelas condições iniciais alpha1,alpha2,alpha3. Além disso, verifica-se que
,P1(t)+P2(t)+P3(t)=1 sempre que alpha1+alpha2+alpha3=1.

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