Resolva a equação integral por laplace(0,3 ponto):
y(t)=e^-3 t+integralx=0^x=infty e^-4(t-x) y(x) d x

Passo 1

O enunciado é uma equação integral do tipo Volterra com núcleo exponencial
y(t)=e^-3t+integral0^te^-4l(t-xr),y(x),dx,
e pede para resolver usando a transformada de Laplace. Vamos precisar usar:
  1. A linearidade da transformada de Laplace.
  2. A propriedade de convolução
Llintegral0^tk(t-x)y(x),dxr(s)=K(s),Y(s),
onde K(s)=Lk(t)(s) e Y(s)=Ly(t)(s).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Denotando
Y(s)=Ly(t)(s),
temos
Y(s) =Le^-3t(s) +Llintegral0^te^-4(t-x)y(x),dxr(s)

Passo 3

Calculamos cada termo:
  1. Le^-3t(s)=1s+3
  2. Para o termo de convolução, o núcleo é k(t)=e^-4t, logo
K(s)=Le^-4t(s)=1s+4,
e
Llintegral0^te^-4(t-x)y(x),dxr(s) =K(s),Y(s) =1s+4,Y(s)
Assim a equação em s vira
Y(s)=1s+3+1s+4,Y(s)

Passo 4

Isolamos Y(s):
Y(s)-1s+4,Y(s)=1s+3 Longrightarrow Y(s)l(1-1s+4r)=1s+3
Como 1-1s+4=s+3s+4, obtemos
Y(s),s+3s+4=1s+3 Longrightarrow Y(s)=s+4(s+3)^2

Passo 5

Fazemos a transformada inversa de
Y(s)=s+4(s+3)^2 =s+3(s+3)^2+1(s+3)^2 =1s+3+1(s+3)^2
Sabendo que L^-1tfrac1s+3=e^-3t e L^-1tfrac1(s+3)^2=t,e^-3t, concluímos
y(t)=e^-3t+t,e^-3t=(1+t),e^-3t

Resposta

y(t)=(1+t),e^-3t

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