para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano \partial(x, y) / \partial(u, v).
b. Encontre a imagem pela transformação u=2 x-3 y, v=-x+y do paralelogramo R no plano x y \operatorname{com} fronteiras x=-3, x=0, y=x e y=x+1. Esboce a região transformada no plano u v.
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
u = 2x - 3y,\quad v = -x + y
e pede: (a) inverter o sistema para achar x e y em função de u,v e calcular o jacobiano \partial(x,y)/\partial(u,v); (b) aplicar essa transformação ao paralelogramo
-3 \le x \le 0,\quad x \le y \le x+1
e esboçar sua imagem no plano uv.
Passo 2
Da equação \;v=-x+y\; isolamos
y = v + x.
Substituindo em
u = 2x - 3y = 2x - 3(v + x) = -x - 3v
vem
-x = u + 3v\quad\Longrightarrow\quad x = -\,u - 3v,
e então
y = v + x = v - u - 3v = -\,u - 2v.
Passo 3
Montamos a matriz dos parciais de (x,y) em relação a (u,v):