1. a. Resolva o sistema
u=2 x-3 y, \quad v=-x+y
para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano \partial(x, y) / \partial(u, v).
b. Encontre a imagem pela transformação u=2 x-3 y, v=-x+y do paralelogramo R no plano x y \operatorname{com} fronteiras x=-3, x=0, y=x e y=x+1. Esboce a região transformada no plano u v.

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear
u = 2x - 3y,\quad v = -x + y
e pede: (a) inverter o sistema para achar x e y em função de u,v e calcular o jacobiano \partial(x,y)/\partial(u,v); (b) aplicar essa transformação ao paralelogramo
-3 \le x \le 0,\quad x \le y \le x+1
e esboçar sua imagem no plano uv.

Passo 2

Da equação \;v=-x+y\; isolamos
y = v + x.
Substituindo em
u = 2x - 3y = 2x - 3(v + x) = -x - 3v
vem
-x = u + 3v\quad\Longrightarrow\quad x = -\,u - 3v,
e então
y = v + x = v - u - 3v = -\,u - 2v.

Passo 3

Montamos a matriz dos parciais de (x,y) em relação a (u,v):
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} -1 & -3\\\\ -1 & -2 \end{pmatrix} =(-1)(-2)-(-3)(-1)=2-3=-1.]

Passo 4

Agora achamos os quatro vértices da imagem de R. Nas fronteiras de R:
  1. x=-3,\\ y=x\Rightarrow y=-3
(u,v) = (2\cdot(-3)-3\cdot(-3),\,-(-3)+(-3)) = (3,0).
  1. x=0,\\ y=x\Rightarrow y=0 (u,v)=(0,0).
  2. x=0,\\ y=x+1\Rightarrow y=1
(u,v) = (2\cdot0-3\cdot1,\,-0+1) = (-3,1).
  1. x=-3,\\ y=x+1\Rightarrow y=-2
(u,v) = (2\cdot(-3)-3\cdot(-2),\,-(-3)+(-2)) = (0,1).

Passo 5

Unindo esses pontos no plano uv forma-se o paralelogramo de vértices
(3,0),\;(0,0),\;(-3,1),\;(0,1).
Em outras palavras, como v=y-x varia de 0 a 1 e x\in[-3,0], da fórmula
u=-x-3v
segue
0\le v\le1,\quad 3-3v\ge u\ge -3v.

Resposta

a)
x = -\,u - 3v,\quad y = -\,u - 2v, \quad \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -1.
b) A imagem de R é o paralelogramo em uv com vértices
(3,0),\;(0,0),\;(-3,1),\;(0,1),
ou descrito por
0\le v\le1,\quad -3v\le u\le 3-3v.
Esboço: basta ligar esses quatro pontos em sequência no plano uv.

Exercícios relacionados