para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano \partial(x, y) / \partial(u, v).
b. Encontre a imagem pela transformação u=3 x+2 y, v=x+ 4 y da região triangular no plano x y delimitada pelo eixo x,
eixo y e a reta x+y=1. Esboce a região transformada no plano u v.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
u = 3x + 2y,\quad v = x + 4y
e pede em (a) inverter esse sistema para escrever x e y em função de u,v e calcular o jacobiano \partial(x,y)/\partial(u,v), e em (b) determinar a imagem do triângulo do plano xy delimitado por x=0, y=0 e x+y=1 no plano uv.
Passo 2
Para inverter o sistema, escrevemos em forma matricial
Os vértices do triângulo em xy são (0,0), (1,0) e (0,1). Aplicando a transformação:
em (0,0) \Rightarrow (u,v)=(0,0),
em (1,0) \Rightarrow (u,v)=(3,1),
em (0,1) \Rightarrow (u,v)=(2,4).
Passo 5
Portanto a imagem é o triângulo no plano uv com vértices