1. a. Resolva o sistema
u=3 x+2 y, \quad v=x+4 y
para x e y em termos de u e v. Em seguida, encontre o valor do jacobiano \partial(x, y) / \partial(u, v).
b. Encontre a imagem pela transformação u=3 x+2 y, v=x+ 4 y da região triangular no plano x y delimitada pelo eixo x,
eixo y e a reta x+y=1. Esboce a região transformada no plano u v.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
u = 3x + 2y,\quad v = x + 4y
e pede em (a) inverter esse sistema para escrever x e y em função de u,v e calcular o jacobiano \partial(x,y)/\partial(u,v), e em (b) determinar a imagem do triângulo do plano xy delimitado por x=0, y=0 e x+y=1 no plano uv.

Passo 2

Para inverter o sistema, escrevemos em forma matricial
\begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 2\\[6pt]1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}.
O determinante da matriz é
\det \begin{pmatrix}3 & 2\\\ 1 & 4\end{pmatrix} =3\cdot4-2\cdot1=10.
Logo a inversa é \tfrac1{10}\begin{pmatrix}4 & -2\\\ -1 & 3\end{pmatrix}, e daí
\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \frac1{10} \begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u\v\end{pmatrix},
isto é
x = \frac{4u - 2v}{10} = \frac{2u - v}{5}, \quad y = \frac{-u + 3v}{10}.]

Passo 3

O jacobiano \partial(x,y)/\partial(u,v) é o determinante da matriz dos coeficientes
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \det \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} \tfrac{2}{5} & -\tfrac{1}{5}\\[4pt] -\tfrac{1}{10} & \tfrac{3}{10} \end{pmatrix}.
Calculando,
\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{10} - \Bigl(-\frac{1}{5}\Bigr)\Bigl(-\frac{1}{10}\Bigr) = \frac{6}{50}-\frac{1}{50} =\frac{5}{50} =\frac{1}{10}.]

Passo 4

Os vértices do triângulo em xy são (0,0), (1,0) e (0,1). Aplicando a transformação:
em (0,0) \Rightarrow (u,v)=(0,0),
em (1,0) \Rightarrow (u,v)=(3,1),
em (0,1) \Rightarrow (u,v)=(2,4).

Passo 5

Portanto a imagem é o triângulo no plano uv com vértices
(0,0),\quad (3,1),\quad (2,4).
As arestas transformadas são dadas pelas retas
\begin{cases} y=0\mapsto v=\tfrac{1}{3}u,\\\ x=0\mapsto v=2u,\\\ x+y=1\mapsto v=10-3u\quad(u\in[2,3]). \end{cases}

Resposta

(a)
x = \frac{2u - v}{5},\quad y = \frac{-u + 3v}{10}, \quad \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{10}.
(b) A imagem é o triângulo de vértices (0,0), (3,1) e (2,4) no plano uv, com arestas sobre as retas v=\tfrac13u, v=2u e v=10-3u.

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