Resolva o sistema usando o método de Eliminação de Gauss:
\left\{\begin{array}{l} 9 x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=54,5 \\\\ 2 x_{1}+8 x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=-14 \\\\ -3 x_{1}+2 x_{2}+11 x_{3}-4 x_{4}=12,5 \\\\ -2 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+10 x_{4}=-21 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear (usar o método de Eliminação de Gauss):
\left\{\begin{array}{l} 9 x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4=}=54,5,\\[4pt] 2 x_{1}+8 x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=-14,\\[4pt] -3 x_{1}+2 x_{2}+11 x_{3}-4 x_{4}=12,5,\\[4pt] -2 x_{1}+3 x_{2}+2 x_{3}+10 x_{4}=-21. \end{array}\right.
Informações dadas:
  • São quatro equações lineares com quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}.
  • Aparecem números decimais em \,54,5 e \,12,5.
    O objetivo é encontrar os valores de \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} usando Eliminação de Gauss (transformar o sistema por operações elementares em triangular superior e depois fazer substituição regressiva).]

Passo 2

Breve explicação do método (aula curta): Eliminação de Gauss consiste em aplicar operações elementares sobre as linhas do sistema (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não-nulo, somar múltiplos de uma linha a outra) para transformar o sistema numa forma triangular superior (todos os coeficientes abaixo da diagonal principal iguais a zero). Depois, resolve-se por substituição regressiva (da última equação para cima).
Estratégia prática para este problema: é conveniente eliminar os decimais multiplicando todas as equações por 2 (assim \,54,5 vira 109 e \,12,5 vira 25), o que facilita as contas manuais. Vou fazer isso antes de montar a matriz aumentada.
Multiplicando tudo por 2 obtemos o sistema equivalente:
\left\{\begin{array}{l} 18 x_{1}-4 x_{2}+6 x_{3}+4 x_{4}=109,\\[4pt] 4 x_{1}+16 x_{2}-4 x_{3}+6 x_{4}=-28,\\[4pt] -6 x_{1}+4 x_{2}+22 x_{3}-8 x_{4}=25,\\[4pt] -4 x_{1}+6 x_{2}+4 x_{3}+20 x_{4}=-42. \end{array}\right.]

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada correspondente e começo a eliminar a primeira coluna (usar R_i para denotar linhas).
Matriz inicialmente:
\left[\begin{array}{cccc|c} 18 & -4 & 6 & 4 & 109\\[4pt] 4 & 16 & -4 & 6 & -28\\[4pt] -6 & 4 & 22 & -8 & 25\\[4pt] -4 & 6 & 4 & 20 & -42 \end{array}\right]
Vamos anular as entradas abaixo do pivô 18 na primeira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{4}{18}R_1 = R_2 - \dfrac{2}{9}R_1.
  • R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{-6}{18}R_1 = R_3 + \dfrac{1}{3}R_1.
  • R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{-4}{18}R_1 = R_4 + \dfrac{2}{9}R_1.
Faço as contas (mostro cada entrada resultante):
Para R_2:
\begin{array}{l} \text{col}_2: \;16 - \dfrac{2}{9}(-4)=16+\dfrac{8}{9}=\dfrac{152}{9},\\[4pt] \text{col}_3: \;-4 - \dfrac{2}{9}\cdot 6=-4-\dfrac{12}{9}=-\dfrac{48}{9},\\[4pt] \text{col}_4: \;6 - \dfrac{2}{9}\cdot 4=6-\dfrac{8}{9}=\dfrac{46}{9},\\[4pt] \text{RHS}: \;-28-\dfrac{2}{9}\cdot109=-28-\dfrac{218}{9}=-\dfrac{470}{9}. \end{array}
Para R_3:
\begin{array}{l} \text{col}_2: \;4+\dfrac{1}{3}(-4)=4-\dfrac{4}{3}=\dfrac{8}{3},\\[4pt] \text{col}_3: \;22+\dfrac{1}{3}\cdot 6=22+2=24,\\[4pt] \text{col}_4: \;-8+\dfrac{1}{3}\cdot 4=-8+\dfrac{4}{3}=-\dfrac{20}{3},\\[4pt] \text{RHS}: \;25+\dfrac{1}{3}\cdot109=25+\dfrac{109}{3}=\dfrac{184}{3}. \end{array}
Para R_4:
\begin{array}{l} \text{col}_2: \;6+\dfrac{2}{9}(-4)=6-\dfrac{8}{9}=\dfrac{46}{9},\\[4pt] \text{col}_3: \;4+\dfrac{2}{9}\cdot6=4+\dfrac{12}{9}=\dfrac{48}{9},\\[4pt] \text{col}_4: \;20+\dfrac{2}{9}\cdot4=20+\dfrac{8}{9}=\dfrac{188}{9},\\[4pt] \text{RHS}: \;-42+\dfrac{2}{9}\cdot109=-42+\dfrac{218}{9}=-\dfrac{160}{9}. \end{array}
A matriz após essas operações fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 18 & -4 & 6 & 4 & 109\\[4pt] 0 & \dfrac{152}{9} & -\dfrac{48}{9} & \dfrac{46}{9} & -\dfrac{470}{9}\\[6pt] 0 & \dfrac{8}{3} & 24 & -\dfrac{20}{3} & \dfrac{184}{3}\\[6pt] 0 & \dfrac{46}{9} & \dfrac{48}{9} & \dfrac{188}{9} & -\dfrac{160}{9} \end{array}\right].]

Passo 4

Para simplificar as contas, multiplico linhas para eliminar denominadores (operações válidas: multiplicar uma linha por escalar não-nulo):
\begin{array}{l} R_2 \leftarrow 9 R_2 \quad\Rightarrow\quad R_2=[\,0,\;152,\;-48,\;46\;|\;-470\,],\\[3pt] R_3 \leftarrow 3 R_3 \quad\Rightarrow\quad R_3=[\,0,\;8,\;72,\;-20\;|\;184\,],\\[3pt] R_4 \leftarrow 9 R_4 \quad\Rightarrow\quad R_4=[\,0,\;46,\;48,\;188\;|\;-160\,]. \end{array}
A matriz fica então
\left[\begin{array}{cccc|c} 18 & -4 & 6 & 4 & 109\\[4pt] 0 & 152 & -48 & 46 & -470\\[4pt] 0 & 8 & 72 & -20 & 184\\[4pt] 0 & 46 & 48 & 188 & -160 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora eliminamos a coluna 2 (abaixo do pivô 152 em R_2):
  • Multiplicador para R_3: m_{32}=\dfrac{8}{152}=\dfrac{1}{19}. Faço R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{1}{19}R_2.
  • Multiplicador para R_4: m_{42}=\dfrac{46}{152}=\dfrac{23}{76}. Faço R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{23}{76}R_2.
Calculemos R_3:
\begin{array}{l} \text{col}_3:\;72 - \dfrac{1}{19}(-48)=72+\dfrac{48}{19}=\dfrac{1416}{19},\\[4pt] \text{col}_4:\;-20 - \dfrac{1}{19}\cdot 46=-20-\dfrac{46}{19}=-\dfrac{426}{19},\\[4pt] \text{RHS}:\;184 - \dfrac{1}{19}(-470)=184+\dfrac{470}{19}=\dfrac{3966}{19}. \end{array}
Multiplicando essa linha por 19 para limpar denominadores obtemos
R_3 \leftarrow [\,0,\;0,\;1416,\;-426\;|\;3966\,].
Agora R_4:
\begin{array}{l} \text{col}_3:\;48 - \dfrac{23}{76}(-48)=48+\dfrac{1104}{76}=48+\dfrac{276}{19}=\dfrac{1188}{19},\\[4pt] \text{col}_4:\;188 - \dfrac{23}{76}\cdot 46=188-\dfrac{1058}{76}=\dfrac{6615}{38},\\[4pt] \text{RHS}:\;-160 - \dfrac{23}{76}(-470)=-160+\dfrac{10810}{76}=-\dfrac{675}{38}. \end{array}
Multiplico essa linha por 38 (para limpar denominadores) e obtenho
R_4 \leftarrow [\,0,\;0,\;2376,\;6615\;|\;-675\,].
Agora a matriz (com linhas escaladas para inteiros) é
\left[\begin{array}{cccc|c} 18 & -4 & 6 & 4 & 109\\[4pt] 0 & 152 & -48 & 46 & -470\\[4pt] 0 & 0 & 1416 & -426 & 3966\\[4pt] 0 & 0 & 2376 & 6615 & -675 \end{array}\right].
Observação: multiplicações por escalares em linha não mudam as soluções; foram só para facilitar os cálculos manuais.]

Passo 6

Eliminação na terceira coluna: pivot em R_3 é 1416. Quero zerar o elemento da linha 4:
Multiplicador m_{43}=\dfrac{2376}{1416}=\dfrac{99}{59}.
Faço R_4 \leftarrow R_4 - \dfrac{99}{59} R_3.
Calculo a última linha após a operação:
\begin{array}{l} \text{col}_3:\;2376 - \dfrac{99}{59}\cdot1416 = 2376 - 2376 = 0,\\[4pt] \text{col}_4:\;6615 - \dfrac{99}{59}(-426)=6615+\dfrac{99\cdot 426}{59}=\dfrac{432459}{59},\\[4pt] \text{RHS}:\;-675 - \dfrac{99}{59}\cdot 3966 = -\dfrac{432459}{59}. \end{array}
Portanto a última linha passa a ser
\left[\,0,\;0,\;0,\;\dfrac{432459}{59}\;\Big|\;-\dfrac{432459}{59}\,\right].
Isso corresponde à equação
\dfrac{432459}{59}\,x_{4}=-\dfrac{432459}{59}.
Logo, simplificando,
x_{4}=-1.
(Ahá! apareceu um inteiro limpinho — sempre bom quando some assim.)]

Passo 7

Substituição regressiva para obter x_{3},x_{2},x_{1}.
Usando R_3: 1416\,x_{3}-426\,x_{4}=3966. Substituindo x_{4}=-1:
1416\,x_{3}-426\cdot(-1)=3966 \quad\Rightarrow\quad 1416\,x_{3}+426=3966.
Logo
1416\,x_{3}=3966-426=3540.
Simplificando a fração:
x_{3}=\dfrac{3540}{1416}=\dfrac{295}{118}=\dfrac{5}{2}=2{,}5.
(Expliquei a simplificação: dividir numerador e denominador por 12: 3540/12=295, 1416/12=118. Depois 295=5\cdot59, 118=2\cdot59 5/2.)
Agora R_2: 152\,x_{2}-48\,x_{3}+46\,x_{4}=-470.
Substituo x_{3}=\dfrac{5}{2} e x_{4}=-1:
152\,x_{2}-48\cdot\dfrac{5}{2}+46\cdot(-1)=-470.
Calculo os termos: -48\cdot\dfrac{5}{2}=-120 e 46\cdot(-1)=-46. Então
152\,x_{2}-120-46=-470 \quad\Rightarrow\quad 152\,x_{2}-166=-470.
Então
152\,x_{2}=-470+166=-304 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\dfrac{-304}{152}=-2.
Finalmente R_1: 18\,x_{1}-4\,x_{2}+6\,x_{3}+4\,x_{4}=109.
Substituo x_{2}=-2,\;x_{3}=\dfrac{5}{2},\;x_{4}=-1:
18\,x_{1}-4(-2)+6\left(\dfrac{5}{2}\right)+4(-1)=109.
Calculo: -4(-2)=8,\;6\cdot \dfrac{5}{2}=15,\;4(-1)=-4. Soma dos termos conhecidos é 8+15-4=19. Assim
18\,x_{1}+19=109 \quad\Rightarrow\quad 18\,x_{1}=90 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=5.

Resposta

x_{1}=5
x_{2}=-2
x_{3}=\dfrac{5}{2}
x_{4}=-1

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