Questão 9: Calcule:
A integral da função f(x, y)=\sin (x+y) na região delimitada pelas retas x=0, y=3 \pi, y=x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede: calcular a integral dupla da função f(x,y)=\sin(x+y) sobre a região R delimitada pelas retas x=0, y=3\pi e y=x.
  • Informação sobre a região R: as três retas se intersectam nos pontos
    • x=0 com y=x em (0,0),
    • x=0 com y=3\pi em (0,3\pi),
    • y=x com y=3\pi em (3\pi,3\pi).
  • Portanto R é o triângulo com vértices (0,0), (0,3\pi), (3\pi,3\pi).
Resumo do pedido: calcular
\iint_{R} \sin(x+y)\,dA.

Passo 2

Escolha do método e escrita como integral iterada.
  • Para integrar em uma região triangular como essa, é natural usar integrais iteradas (Teorema de Fubini). Isso significa escolher uma ordem de integração e escrever os limites conforme a geometria.
  • Observando a região: para cada x fixo entre 0 e 3\pi, o y varia da reta inferior y=x até a reta superior y=3\pi. Logo os limites são
    • 0 \le x \le 3\pi,
    • x \le y \le 3\pi.
  • Escrevendo a integral como iterada (integro primeiro em y, depois em x):
\iint_{R} \sin(x+y)\,dA = \int_{x=0}^{3\pi}\left(\int_{y=x}^{3\pi} \sin(x+y)\,dy\right)dx.

Passo 3

Cálculo da integral interna em y.
  • Para integrar \sin(x+y) em relação a y, tratamos x como constante. Uma primitiva em y é
\int \sin(x+y)\,dy = -\cos(x+y)+C,
porque \dfrac{d}{dy}[-\cos(x+y)]=-\big(-\sin(x+y)\big)=\sin(x+y).
  • Avaliando entre y=x e y=3\pi:
\int_{y=x}^{3\pi} \sin(x+y)\,dy = \big[-\cos(x+y)\big]_{y=x}^{y=3\pi} = -\cos(x+3\pi) - \big(-\cos(x+x)\big).
  • Simplificando: \cos(x+x)=\cos(2x). Para \cos(x+3\pi) usamos periodicidade e a identidade de fase:
    • 3\pi=\pi+2\pi, então \cos(x+3\pi)=\cos((x+\pi)+2\pi)=\cos(x+\pi).
    • E \cos(x+\pi)=-\cos x.
    • Logo \cos(x+3\pi)=-\cos x.
  • Substituindo:
-\cos(x+3\pi)+\cos(2x) = -(-\cos x)+\cos(2x)=\cos x+\cos(2x).
  • Logo a integral interna reduziu para \cos x+\cos(2x). Assim a integral original vira
\iint_{R} \sin(x+y)\,dA = \int_{0}^{3\pi} \big(\cos x+\cos(2x)\big)\,dx.

Passo 4

Cálculo da integral externa em x.
  • Integramos \cos x+\cos(2x) em x. As primitivas são:
    • \int \cos x\,dx = \sin x + C,
    • \int \cos(2x)\,dx = \tfrac{1}{2}\sin(2x)+C, porque a derivada de \sin(2x) é 2\cos(2x).
  • Portanto
\int_{0}^{3\pi} \big(\cos x+\cos(2x)\big)\,dx = \Big[\sin x+\tfrac{1}{2}\sin(2x)\Big]_{0}^{3\pi}.
  • Avaliando nos extremos:
    • \sin(3\pi)=0,
    • \sin(6\pi)=0,
    • \sin(0)=0.
  • Assim o valor da expressão no limite superior é 0+ \tfrac{1}{2}\cdot 0 = 0 e no inferior é 0. Subtraindo dá 0-0=0.

Passo 5

Interpretação rápida (opcional e intuitiva).
  • O resultado 0 significa que a “área assinada” sob a superfície \sin(x+y) sobre o triângulo R cancela: há partes positivas e negativas que se compensam perfeitamente neste caso. Uma verificação direta através da integração mostrou isso de forma rigorosa.

Resposta

0

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