Questão 9: Calcule:
A integral da função
na região delimitada pelas retas
.
A integral da função
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pede: calcular a integral dupla da função
sobre a região delimitada pelas retas , e . - Informação sobre a região
: as três retas se intersectam nos pontos -
com em , -
com em , -
com em .
-
- Portanto
é o triângulo com vértices , , .
Resumo do pedido: calcular
Passo 2
Escolha do método e escrita como integral iterada.
- Para integrar em uma região triangular como essa, é natural usar integrais iteradas (Teorema de Fubini). Isso significa escolher uma ordem de integração e escrever os limites conforme a geometria.
- Observando a região: para cada
fixo entre e , o varia da reta inferior até a reta superior . Logo os limites são -
, -
.
-
- Escrevendo a integral como iterada (integro primeiro em
, depois em ):
Passo 3
Cálculo da integral interna em
.
- Para integrar
em relação a , tratamos como constante. Uma primitiva em é
porque
.
- Avaliando entre
e :
- Simplificando:
. Para usamos periodicidade e a identidade de fase: -
, então . - E
. - Logo
.
-
- Substituindo:
- Logo a integral interna reduziu para
. Assim a integral original vira
Passo 4
Cálculo da integral externa em
.
- Integramos
em . As primitivas são: -
, -
, porque a derivada de é .
-
- Portanto
- Avaliando nos extremos:
-
, -
, -
.
-
- Assim o valor da expressão no limite superior é
e no inferior é . Subtraindo dá .
Passo 5
Interpretação rápida (opcional e intuitiva).
- O resultado
significa que a “área assinada” sob a superfície sobre o triângulo cancela: há partes positivas e negativas que se compensam perfeitamente neste caso. Uma verificação direta através da integração mostrou isso de forma rigorosa.