Resolva os sistemas abaixo pelo método de Gauss-Jordan.
lx1+2 x2-x3=0 3 x1-4 x2+5 x3=10 x1+x2+x3=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações que precisa resolver usando o método de Gauss-Jordan. O sistema é:
x1 + 2x2 - x3 = 0 3x1 - 4x2 + 5x3 = 10 x1 + x2 + x3 = 1
Vamos usar álgebra linear para resolver isso. O método de Gauss-Jordan ajuda a transformar o sistema em uma forma onde as soluções ficam bem claras. Precisaremos manipular as equações para isolar as variáveis uma a uma.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar e aplicar as operações necessárias. A matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & -1 & | & 0 3 & -4 & 5 & | & 10 1 & 1 & 1 & | & 1

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma matriz escalonada reduzida, onde teremos 1’s na diagonal principal e 0’s abaixo e acima dela. Vamos começar pela primeira coluna.
Primeiro, já temos um 1 na posição (1,1), então vamos usar essa linha para eliminar os outros 3’s e 1’s abaixo dela.
Para eliminar o 3 na posição (2,1), fazemos:
  • Linha 2 = Linha 2 - 3 * Linha 1
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -10 & 8 & | & 10 1 & 1 & 1 & | & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 1 na posição (3,1) usando a Linha 1:
  • Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & -10 & 8 & | & 10 0 & -1 & 2 & | & 1

Passo 5

Seguimos para a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Atualmente, temos -10 lá. Vamos dividir toda a Linha 2 por -10:
  • Linha 2 = (1/-10) * Linha 2
1 & 2 & -1 & | & 0 0 & 1 & -0.8 & | & -1 0 & -1 & 2 & | & 1

Passo 6

Agora, vamos usar o 1 na posição (2,2) para eliminar os outros valores na coluna 2.
Para eliminar o 2 na posição (1,2):
  • Linha 1 = Linha 1 - 2 * Linha 2
Para eliminar o -1 na posição (3,2):
  • Linha 3 = Linha 3 + Linha 2
1 & 0 & 0.6 & | & 2 0 & 1 & -0.8 & | & -1 0 & 0 & 1.2 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos focar na terceira coluna. Queremos um 1 na posição (3,3). Vamos dividir a Linha 3 por 1.2:
  • Linha 3 = Linha 3 / 1.2
1 & 0 & 0.6 & | & 2 0 & 1 & -0.8 & | & -1 0 & 0 & 1 & | & 0

Passo 8

Por último, vamos eliminar os valores acima do 1 na posição (3,3).
Para eliminar 0.6 na posição (1,3):
  • Linha 1 = Linha 1 - 0.6 * Linha 3
Para eliminar -0.8 na posição (2,3):
  • Linha 2 = Linha 2 + 0.8 * Linha 3
1 & 0 & 0 & | & 2 0 & 1 & 0 & | & -1 0 & 0 & 1 & | & 0

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 2, x2 = -1, x3 = 0

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