Resolva os sistemas abaixo se possível usando a regra de Cramer.
\left\{\begin{aligned} 2 x+4 y+6 z & =2 \\\ x+2 z & =0 \\\\ 2 x+3 y-1 & =-5\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de três equações lineares em (x,y,z)\) e pede para usar a regra de Cramer. Precisamos escrever todas na forma padrão \[\begin{cases} 2x + 4y + 6z = 2,\\\ x + 0y + 2z = 0,\\\\ 2x + 3y + 0z = -4, \end{cases}
onde na terceira reescrevemos 2x+3y-1=-5\] como \(2x+3y= -4. Para aplicar Cramer, calculamos o determinante D da matriz dos coeficientes e os determinantes D_x,D_y,D_z obtidos ao substituir, respectivamente, coluna de x,y,z pelos termos constantes.

Passo 2

Calculamos o determinante D:
D = \det\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ 2 & 3 & 0 \end{pmatrix} =2\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 3&0\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&0\end{pmatrix} +6\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&3\end{pmatrix}.
Agora,
2(0\cdot0 -2\cdot3) -4(1\cdot0 -2\cdot2) +6(1\cdot3 -0\cdot2) =2(-6)-4(-4)+6\cdot3=-12+16+18=22.

Passo 3

Calculamos D_x trocando a coluna de x pelos termos independentes (2,0,-4):
D_x=\det\begin{pmatrix} 2 & 4 & 6\\\\ 0 & 0 & 2\\\\ -4& 3 & 0 \end{pmatrix} =2\det\begin{pmatrix}0&2\\\ 3&0\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}0&2\\\ -4&0\end{pmatrix} +6\det\begin{pmatrix}0&0\\\ -4&3\end{pmatrix}.
Isso dá
2(-6)-4(0-(-8))+6\cdot0=-12-4\cdot8+0=-12-32=-44.

Passo 4

Calculamos D_y trocando a coluna de y:
D_y=\det\begin{pmatrix} 2 & 2 & 6\\\\ 1 & 0 & 2\\\\ 2 & -4& 0 \end{pmatrix} =2\det\begin{pmatrix}0&2\\\ -4&0\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&0\end{pmatrix} +6\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&-4\end{pmatrix}.
Logo,
2(0-(-8))-2(0-4)+6(-4)=16-2(-4)-24=16+8-24=0.

Passo 5

Calculamos D_z trocando a coluna de z:
D_z=\det\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 3 & -4 \end{pmatrix} =2\det\begin{pmatrix}0&0\\\ 3&-4\end{pmatrix} -4\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&-4\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1&0\\\ 2&3\end{pmatrix}.
Isso resulta em
2(0)-4((1)(-4)-0)+2(3-0)=0-4(-4)+6=16+6=22.

Passo 6

Pela regra de Cramer,
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-44}{22} = -2,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{0}{22} = 0,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{22}{22} = 1.

Resposta

x=-2,\;y=0,\;z=1.

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