Resolva os sistemas abaixo se possível usando a regra de Cramer.
\left\{\begin{aligned} 2 x+y+z-2 w & =-4 \\\\ 2 y+z+3 w & =4 \\\\ 2 x+y-z+2 w & =5 \\\ x-y+w & =4\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 2x + y + z - 2w = -4,\\\ \;\;\;\;2y + z + 3w = 4,\\\\ 2x + y - z + 2w = 5,\\\ x \;- y + w = 4 \end{cases}
com incógnitas x,y,z,w. Vamos aplicar a regra de Cramer, que diz que
x = \frac{D_x}{D},\quad y = \frac{D_y}{D},\quad z = \frac{D_z}{D},\quad w = \frac{D_w}{D},
onde D=\det A é o determinante da matriz dos coeficientes e D_i é o determinante obtido ao substituir, em A, a i-ésima coluna pelo vetor dos termos independentes \mathbf b =(-4,4,5,4)^T.

Passo 2

Montamos a matriz A e calculamos
D = \det A,\quad A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & -2\\\\ 0 & 2 & 1 & 3\\\\ 2 & 1 & -1 & 2\\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Para simplificar, fazemos R_3\gets R_3-R_1, obtendo
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & -2\\\\ 0 & 2 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & -2 & 4\\\\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna, achamos
D = -38.

Passo 3

Substituímos a primeira coluna de A pelo vetor \mathbf b para obter D_x:
A_x = \begin{pmatrix} -4 & 1 & 1 & -2\\\\ 4 & 2 & 1 & 3\\\\ 5 & 1 & -1 & 2\\\\ 4 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad D_x = \det A_x = -30.

Passo 4

Para y, substituímos a segunda coluna:
A_y = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 1 & -2\\\\ 0 & 4 & 1 & 3\\\\ 2 & 5 & -1 & 2\\\\ 1 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad D_y = \det A_y = 41.

Passo 5

Para z, substituímos a terceira coluna:
A_z = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & -2\\\\ 0 & 2 & 4 & 3\\\\ 2 & 1 & 5 & 2\\\\ 1 & -1 & 4 & 1 \end{pmatrix},\qquad D_z = \det A_z = 9.

Passo 6

Para w, substituímos a quarta coluna:
A_w = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & -4\\\\ 0 & 2 & 1 & 4\\\\ 2 & 1 & -1 & 5\\\\ 1 & -1 & 0 & 4 \end{pmatrix},\qquad D_w = \det A_w = -81.

Resposta

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-30}{-38} = \frac{15}{19},\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{41}{-38} = -\frac{41}{38},\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{9}{-38} = -\frac{9}{38},\quad w = \frac{D_w}{D} = \frac{-81}{-38} = \frac{81}{38}.

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