Resolva os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}\dot{x}=x \\\ \dot{y}=-y \\\ \dot{z}=-z ;\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de equações diferenciais ordinárias desacopladas
\dot{x}=x,\qquad \dot{y}=-y,\qquad \dot{z}=-z,
ou seja, três equações lineares homogêneas de primeira ordem, cada uma envolvendo apenas uma variável. Para resolver, vamos usar o método de separação de variáveis (ou reconhecer que são ODEs do tipo \dot{u}=ku).

Passo 2

Para \dot{x}=x, escrevemos
\frac{dx}{dt}=x
e separamos as variáveis:
\frac{dx}{x}=dt.
Integrando ambos os lados,
\int \frac{dx}{x}=\int dt
\ln|x|=t+C_1.
Exponenciando, obtemos
x(t)=A\,e^{t},
onde A = e^{C_1} é uma constante arbitrária.

Passo 3

Para \dot{y}=-y, temos
\frac{dy}{dt}=-y
e separamos as variáveis:
\frac{dy}{y}=-\,dt.
Integrando,
\int \frac{dy}{y}=-\int dt
\ln|y|=-t+C_2
e, exponenciando,
y(t)=B\,e^{-t},
com B = e^{C_2} constante arbitrária.

Passo 4

O mesmo raciocínio vale para \dot{z}=-z:
\frac{dz}{dt}=-z\quad\Longrightarrow\quad z(t)=C\,e^{-t},
onde C é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=A\,e^{t},\quad y(t)=B\,e^{-t},\quad z(t)=C\,e^{-t},
com A, B e C constantes de integração.

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