Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} x+y+z & =4 \\\\ 2 x+5 y-2 z & =3 ; \\\ x+7 y-7 z & =5\end{aligned}\right.

Passo 1

O sistema dado e as incógnitas são:
\left\{\begin{aligned} x+y+z &=4,\\[4pt] 2x+5y-2z &=3,\\[4pt] x+7y-7z &=5. \end{aligned}\right.
O que o enunciado pede: resolver o sistema linear, ou seja, encontrar os valores de (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as três equações.]

Passo 2

Breve aula rápida sobre o Método de Gauss-Jordan (sem pânico — é só seguir passos):
  • A ideia é transformar a matriz aumentada do sistema numa forma escalonada reduzida (a forma de linha reduzida), idealmente a matriz identidade à esquerda, usando apenas operações elementares de linha.
  • Operações de linha permitidas (não mudam a solução):
    1. trocar duas linhas entre si,
    2. multiplicar uma linha por um escalar não-nulo,
    3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
  • Se, ao final, surgir uma linha do tipo \[0\\\ 0\\\ 0\mid b\] com b\neq0, isso significa uma contradição e o sistema é incompatível (sem solução).
  • Se obtivermos uma linha com todas as variáveis correspondendo à identidade, lemos diretamente as soluções.
Agora vamos aplicar isso passo a passo ao sistema.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada correspondente ao sistema. Colocando as colunas na ordem (x,y,z) e a coluna ampliada com os termos independentes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 2 & 5 & -2 & 3\\[4pt] 1 & 7 & -7 & 5 \end{array}\right].]

Passo 4

Objetivo inicial: criar zeros abaixo do pivô da primeira coluna (entrada \,1 na linha 1, coluna 1). Como o pivô já é \,1, usamos operações do tipo R_i \leftarrow R_i - k R_1.
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1:
    R_2: \;[2\;5\;-2\;|\;3]-2[1\;1\;1\;|\;4]=[0\;3\;-4\;|\;-5].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_1:
    R_3: \;[1\;7\;-7\;|\;5]-[1\;1\;1\;|\;4]=[0\;6\;-8\;|\;1].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 3 & -4 & -5\\[4pt] 0 & 6 & -8 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora trabalhamos com a segunda coluna; escolhemos como pivô a entrada \,3 em R_2. Para facilitar, transformamos esse pivô em \,1 dividindo a linha 2 por 3:
  • Fazer R_2 \leftarrow \dfrac{1}{3}R_2: R_2 = \left[0\;1\;-\dfrac{4}{3}\;\Big|\;-\dfrac{5}{3}\right].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & -\dfrac{4}{3} & -\dfrac{5}{3}\\[4pt] 0 & 6 & -8 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Agora eliminamos as outras entradas da coluna 2 usando o pivô em R_2:
  • Fazer R_1 \leftarrow R_1 - R_2:
    Cálculo elemento a elemento:
    R_1:\;[1\;1\;1\;|\;4]-[0\;1\;-\tfrac{4}{3}\;|\;-\tfrac{5}{3}] =[1\;0\;1+\tfrac{4}{3}\;|\;4+\tfrac{5}{3}].
    Simplificando:
    1+\tfrac{4}{3}=\tfrac{7}{3},\qquad 4+\tfrac{5}{3}=\tfrac{17}{3}.
    Então R_1=[1\;0\;\tfrac{7}{3}\;|\;\tfrac{17}{3}].
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - 6R_2:
    Primeiro 6R_2=[0\;6\;-8\;|\;-10] porque 6\cdot(-\tfrac{4}{3})=-8 e 6\cdot(-\tfrac{5}{3})=-10.
    Então
    R_3:[0\;6\;-8\;|\;1]-[0\;6\;-8\;|\;-10]=[0\;0\;0\;|\;11].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{7}{3} & \tfrac{17}{3}\\[6pt] 0 & 1 & -\tfrac{4}{3} & -\tfrac{5}{3}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 11 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação do que apareceu: a terceira linha corresponde à equação
0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = 11,
ou seja,
0=11,
que é uma contradição. Isso sinaliza que o sistema é incompatível: não existem (x,y,z) que satisfaçam simultaneamente todas as equações. Em termos do método, uma linha com coeficientes nulos para todas as incógnitas e termo independente não nulo indica que o sistema não possui solução.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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