Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned} x+4 y-z & =12 \\\\ 3 x+8 y-2 z & =4\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo Método de Gauss-Jordan, o sistema
\begin{cases} x+4y-z=12,\\[4pt] 3x+8y-2z=4. \end{cases}
Informações dadas:
  • Duas equações e três incógnitas x,y,z.
  • O objetivo é encontrar todas as soluções (se houverem) usando Gauss-Jordan.]

Passo 2

Rápida explicação do método (pra gente não se perder): Gauss-Jordan transforma o sistema numa forma equivalente chamada forma reduzida por linhas (reduzida por linhas ou RREF), onde cada equação corresponde a uma linha da matriz aumentada e fazemos operações elementares nas linhas até obter pivôs (uns) com zeros em toda a coluna desses pivôs. Operações elementares permitidas:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por uma constante não nula;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
    Quando o número de incógnitas é maior que o de equações, costuma aparecer variável(s) livre(s) — a gente vai identificá‑las e parametrizar a solução.

Passo 3

Montamos a matriz aumentada do sistema (pegando os coeficientes das incógnitas e os termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\[4pt] 3 & 8 & -2 & 4 \end{array}\right].]

Passo 4

Escolhemos como pivô a posição (1,1) que já é 1. Agora eliminamos o elemento abaixo desse pivô (para zerar o elemento na linha 2, coluna 1) usando a operação R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Faço as contas entrada a entrada:
  • Coluna 1: 3 - 3\cdot 1 = 0.
  • Coluna 2: 8 - 3\cdot 4 = 8 - 12 = -4.
  • Coluna 3: -2 - 3\cdot(-1) = -2 + 3 = 1.
  • Termo independente: 4 - 3\cdot 12 = 4 - 36 = -32.
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\[4pt] 0 & -4 & 1 & -32 \end{array}\right].]

Passo 5

Queremos um pivô igual a 1 na segunda linha, segunda coluna. Então normalizamos a linha 2: R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{4}R_2. Calculando:
  • Coluna 2: -4\cdot(-\tfrac{1}{4}) = 1.
  • Coluna 3: 1\cdot(-\tfrac{1}{4}) = -\tfrac{1}{4}.
  • Termo independente: -32\cdot(-\tfrac{1}{4}) = 8.
Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -1 & 12\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{4} & 8 \end{array}\right].]

Passo 6

Fazemos zeros em toda coluna do pivô da segunda linha, isto é, zerar o 4 que está em (1,2). Operação: R_1 \leftarrow R_1 - 4R_2. Calculando:
  • Coluna 1: 1 - 4\cdot 0 = 1.
  • Coluna 2: 4 - 4\cdot 1 = 0.
  • Coluna 3: -1 - 4\cdot(-\tfrac{1}{4}) = -1 + 1 = 0.
  • Termo independente: 12 - 4\cdot 8 = 12 - 32 = -20.
A matriz em forma escalonada reduzida fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & -20\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{1}{4} & 8 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação das linhas finais como equações:
  • Da linha 1 obtém-se \;x = -20.
  • Da linha 2 obtém-se \;y - \tfrac{1}{4}z = 8, ou seja \;y = 8 + \tfrac{1}{4}z.
A coluna de z não tem pivô, então z é variável livre. Parametrizamos colocando z=t, com t\in\mathbb{R}. Assim a solução geral é
x=-20,\qquad y=8+\tfrac{1}{4}t,\qquad z=t,
ou, em forma vetorial,
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-20\\[4pt]8\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\[4pt]\tfrac{1}{4}\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Cheque rápido (só pra ficar tranquilo): escolher t=0 (x,y,z)=(-20,8,0). Substituindo na primeira equação: -20+4\cdot8-0= -20+32=12. Segunda: 3(-20)+8\cdot8-2\cdot0=-60+64=4. Confere.

Resposta

x=-20
y=8+\tfrac{1}{4}t
z=t,\qquad t\in\mathbb{R}

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