O que se pede: resolver o sistema usando o Método de Gauss-Jordan, ou seja, encontrar todas as soluções (se existirem), possivelmente em forma paramétrica.
Informações relevantes (retiradas diretamente do enunciado):
As incógnitas são \,t,x,y,z.
Há 3 equações e 4 incógnitas (isso sugere que poderemos ter solução infinita com parâmetros livres).
Usar o Método de Gauss-Jordan (transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas).]
Passo 2
Vou montar a matriz aumentada do sistema, com colunas na ordem \,t,x,y,z e a coluna aumentada do lado direito:
Antes de operar: lembrete rápido sobre operações elementares permitidas no Método de Gauss-Jordan (essas são as únicas operações que posso usar):
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo do Gauss-Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF): ter pivôs iguais a 1 e zeros em todas as posições acima e abaixo dos pivôs, assim podemos ler diretamente as soluções.]
Passo 3
Primeiro passo prático: é conveniente obter um 1 como pivô na primeira linha, primeira coluna. Multiplico a primeira linha por -1:
Interpretação: a terceira equação era combinação das outras duas; a matriz mostra que o posto é 2. Como há 4 incógnitas, esperam-se 4-2=2 parâmetros livres.]
Passo 6
Agora colocando pivô 1 na segunda linha, segunda coluna. Multiplico R_2 por -1:
Explicação: com o pivô 1 em R_2, posso eliminar o coeficiente -3 em cima (na coluna da segunda variável) para obter zeros acima do pivô — passo necessário para a forma reduzida por linhas.]
Passo 7
Eliminar o coeficiente -3 em R_1, coluna x, usando R_2:
R_1 := R_1 + 3R_2.
Calculemos:
Na coluna t: 1 + 3\cdot 0 = 1.
Na coluna x: -3 + 3\cdot1 = 0.
Na coluna y: -3 + 3\cdot4 = -3 + 12 = 9.
Na coluna z: 2 + 3\cdot(-5) = 2 -15 = -13.
No lado direito: -2 + 3\cdot3 = -2 +9 = 7.
Matriz final em forma reduzida por linhas (já com pivôs e zeros acima):
Agora a matriz está em RREF (os pivôs são 1 nas colunas t e x, e há zeros acima/abaixo desses pivôs).]
Passo 8
Ler as equações correspondentes às linhas não nulas:
Da primeira linha:
t + 9y -13z = 7.
Da segunda linha:
x + 4y -5z = 3.
A terceira linha não dá equação nova (é 0=0). As variáveis que correspondem a colunas sem pivô são livres: aqui as colunas de y e z não têm pivô, então escolhemos parâmetros para elas.
Escolho parâmetros:
y = s,\qquad z = r,
onde s,r\in\mathbb{R} são parâmetros livres.
Agora resolvo para as variáveis pivô:
t = 7 - 9y + 13z = 7 - 9s + 13r,
x = 3 - 4y + 5z = 3 - 4s + 5r.
Passo 9
Escrevendo a solução em forma paramétrica (mais limpa):
\begin{aligned} t &= 7 - 9s + 13r,\\[4pt] x &= 3 - 4s + 5r,\\[4pt] y &= s,\\[4pt] z &= r, \end{aligned}
com s,r\in\mathbb{R}.
Como checagem rápida, se escolher s=0 e r=0 obtemos (t,x,y,z)=(7,3,0,0) que satisfaz as três equações (verificação possível substituindo nas equações originais).]