Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned}-t+3 x+3 y-2 z & =2 \\\\ -2 t+5 x+2 y+z & =1 \\\\ -t+2 x-y+3 z & =-1\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema de 3 equações com 4 incógnitas:
\begin{cases} -t+3x+3y-2z=2,\\[4pt] -2t+5x+2y+z=1,\\[4pt] -t+2x-y+3z=-1. \end{cases}
O que se pede: resolver o sistema usando o Método de Gauss-Jordan, ou seja, encontrar todas as soluções (se existirem), possivelmente em forma paramétrica.
Informações relevantes (retiradas diretamente do enunciado):
  • As incógnitas são \,t,x,y,z.
  • Há 3 equações e 4 incógnitas (isso sugere que poderemos ter solução infinita com parâmetros livres).
  • Usar o Método de Gauss-Jordan (transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas).]

Passo 2

Vou montar a matriz aumentada do sistema, com colunas na ordem \,t,x,y,z e a coluna aumentada do lado direito:
\left[\begin{array}{cccc|c} -1 & 3 & 3 & -2 & 2\\[4pt] -2 & 5 & 2 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -1 & 3 & -1 \end{array}\right].
Antes de operar: lembrete rápido sobre operações elementares permitidas no Método de Gauss-Jordan (essas são as únicas operações que posso usar):
  1. trocar duas linhas;
  2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
  3. somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
O objetivo do Gauss-Jordan é obter a forma reduzida por linhas (RREF): ter pivôs iguais a 1 e zeros em todas as posições acima e abaixo dos pivôs, assim podemos ler diretamente as soluções.]

Passo 3

Primeiro passo prático: é conveniente obter um 1 como pivô na primeira linha, primeira coluna. Multiplico a primeira linha por -1:
R_1 := -R_1
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & -3 & 2 & -2\\[4pt] -2 & 5 & 2 & 1 & 1\\[4pt] -1 & 2 & -1 & 3 & -1 \end{array}\right].
Explicação: tornar o pivô igual a 1 facilita a eliminação das outras entradas da mesma coluna.]

Passo 4

Eliminar os termos da coluna do pivô ( t) nas linhas 2 e 3.
  • Para zerar a entrada em R_2: R_2 := R_2 + 2R_1.
  • Para zerar a entrada em R_3: R_3 := R_3 + R_1.
Faço as contas linha a linha:
Para R_2:
-2 + 2\cdot1 = 0,\quad 5 + 2\cdot(-3) = -1,\quad 2 + 2\cdot(-3) = -4,\quad 1 + 2\cdot2 = 5,\quad 1 + 2\cdot(-2) = -3.
Para R_3:
-1 + 1 = 0,\quad 2 + (-3) = -1,\quad -1 + (-3) = -4,\quad 3 + 2 = 5,\quad -1 + (-2) = -3.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & -3 & 2 & -2\\[4pt] 0 & -1 & -4 & 5 & -3\\[4pt] 0 & -1 & -4 & 5 & -3 \end{array}\right].
Observação: as linhas 2 e 3 ficaram idênticas — isso normalmente indica dependência entre equações e que teremos uma linha nula ao prosseguir.]

Passo 5

Eliminar a linha repetida subtraindo R_2 de R_3:
R_3 := R_3 - R_2.
Isso transforma R_3 na linha nula:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & -3 & 2 & -2\\[4pt] 0 & -1 & -4 & 5 & -3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Interpretação: a terceira equação era combinação das outras duas; a matriz mostra que o posto é 2. Como há 4 incógnitas, esperam-se 4-2=2 parâmetros livres.]

Passo 6

Agora colocando pivô 1 na segunda linha, segunda coluna. Multiplico R_2 por -1:
R_2 := -R_2
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & -3 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -5 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Explicação: com o pivô 1 em R_2, posso eliminar o coeficiente -3 em cima (na coluna da segunda variável) para obter zeros acima do pivô — passo necessário para a forma reduzida por linhas.]

Passo 7

Eliminar o coeficiente -3 em R_1, coluna x, usando R_2:
R_1 := R_1 + 3R_2.
Calculemos:
  • Na coluna t: 1 + 3\cdot 0 = 1.
  • Na coluna x: -3 + 3\cdot1 = 0.
  • Na coluna y: -3 + 3\cdot4 = -3 + 12 = 9.
  • Na coluna z: 2 + 3\cdot(-5) = 2 -15 = -13.
  • No lado direito: -2 + 3\cdot3 = -2 +9 = 7.
Matriz final em forma reduzida por linhas (já com pivôs e zeros acima):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 9 & -13 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 4 & -5 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].
Agora a matriz está em RREF (os pivôs são 1 nas colunas t e x, e há zeros acima/abaixo desses pivôs).]

Passo 8

Ler as equações correspondentes às linhas não nulas:
Da primeira linha:
t + 9y -13z = 7.
Da segunda linha:
x + 4y -5z = 3.
A terceira linha não dá equação nova (é 0=0). As variáveis que correspondem a colunas sem pivô são livres: aqui as colunas de y e z não têm pivô, então escolhemos parâmetros para elas.
Escolho parâmetros:
y = s,\qquad z = r,
onde s,r\in\mathbb{R} são parâmetros livres.
Agora resolvo para as variáveis pivô:
t = 7 - 9y + 13z = 7 - 9s + 13r,
x = 3 - 4y + 5z = 3 - 4s + 5r.

Passo 9

Escrevendo a solução em forma paramétrica (mais limpa):
\begin{aligned} t &= 7 - 9s + 13r,\\[4pt] x &= 3 - 4s + 5r,\\[4pt] y &= s,\\[4pt] z &= r, \end{aligned}
com s,r\in\mathbb{R}.
Como checagem rápida, se escolher s=0 e r=0 obtemos (t,x,y,z)=(7,3,0,0) que satisfaz as três equações (verificação possível substituindo nas equações originais).]

Resposta

t=7-9s+13r
x=3-4s+5r
y=s
z=r

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