Resolva os sistemas a seguir, utilizando a regra de cramer.
\left\{\begin{array}{l}x+y-10=0 \\\ x-z-5=0 \\\ y-z-3=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y-10=0\\[4pt] x-z-5=0\\[4pt] y-z-3=0 \end{cases}
O que ele pede: resolver esse sistema, isto é, encontrar os valores de x, y e z.
Informações relevantes (tiradas diretamente do enunciado):
x+y-10=0,\qquad x-z-5=0,\qquad y-z-3=0.]

Passo 2

Primeiro passo prático: isolar os termos constantes à direita (colocar o sistema na forma padrão Ax=b\)). Somando \(10\), \(5\) e \(3\) a cada equação temos: \[\begin{cases} x+y=10\\[4pt] x-z=5\\[4pt] y-z=3 \end{cases}
Escrevendo na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}\], com \(\mathbf{x}=(x,y,z)^\top, obtemos:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & -1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\\[4pt] z\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}10\\[4pt] 5\\[4pt] 3\end{pmatrix}.
Aqui A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação e cada coluna a uma incógnita), \mathbf{x} é o vetor incógnita e \mathbf{b} é o vetor dos termos constantes.]

Passo 3

Explicando a regra de Cramer (aula curta): se \det(A)\neq0, então o sistema tem solução única e as incógnitas são dadas por
x_i=\frac{\det(A_i)}{\det(A)},\qquad i=1,2,3,
onde A_i é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna por \mathbf{b}. Aqui x_1 corresponde a x, x_2 a y e x_3 a z. Vamos calcular \det(A) e os determinantes \det(A_1),\det(A_2),\det(A_3).

Passo 4

Como A é 3\times3, uso a regra de Sarrus para calcular \det(A). Para relembrar a regra de Sarrus: se
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\[4pt] a_{21}&a_{22}&a_{23}\\[4pt] a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},
então
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Aplicando isso em
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & 0 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & -1\end{pmatrix},
temos os termos:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot0\cdot(-1)=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot(-1)\cdot0=0,
a_{13}a_{21}a_{32}=0\cdot1\cdot1=0,
soma positiva =0.
Agora os termos subtraídos:
a_{13}a_{22}a_{31}=0\cdot0\cdot0=0,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot(-1)\cdot1=-1,
a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot1\cdot(-1)=-1,
soma a subtrair =0+(-1)+(-1)=-2.
Portanto
\det(A)=0-(-2)=2.
Como \det(A)=2\neq0, a regra de Cramer vale e há solução única.]

Passo 5

Construo A_1 (substituindo a 1ª coluna por \mathbf{b}):
A_1=\begin{pmatrix}10 & 1 & 0 \\[4pt] 5 & 0 & -1 \\[4pt] 3 & 1 & -1\end{pmatrix}.
Calculo \det(A_1) pela regra de Sarrus. Termos positivos:
10\cdot0\cdot(-1)=0,\qquad 1\cdot(-1)\cdot3=-3,\qquad 0\cdot5\cdot1=0,
soma positiva =-3.
Termos a subtrair:
0\cdot0\cdot3=0,\qquad 10\cdot(-1)\cdot1=-10,\qquad 1\cdot5\cdot(-1)=-5,
soma a subtrair =0+(-10)+(-5)=-15.
Logo
\det(A_1)=(-3)-(-15)=12.
Assim
x=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}=\frac{12}{2}=6.]

Passo 6

Construo A_2 (substituindo a 2ª coluna por \mathbf{b}):
A_2=\begin{pmatrix}1 & 10 & 0 \\[4pt] 1 & 5 & -1 \\[4pt] 0 & 3 & -1\end{pmatrix}.
Calculo \det(A_2). Termos positivos:
1\cdot5\cdot(-1)=-5,\qquad 10\cdot(-1)\cdot0=0,\qquad 0\cdot1\cdot3=0,
soma positiva =-5.
Termos a subtrair:
0\cdot5\cdot0=0,\qquad 1\cdot(-1)\cdot3=-3,\qquad 10\cdot1\cdot(-1)=-10,
soma a subtrair =0+(-3)+(-10)=-13.
Logo
\det(A_2)=(-5)-(-13)=8.
Portanto
y=\frac{\det(A_2)}{\det(A)}=\frac{8}{2}=4.]

Passo 7

Construo A_3 (substituindo a 3ª coluna por \mathbf{b}):
A_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 10 \\[4pt] 1 & 0 & 5 \\[4pt] 0 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Calculo \det(A_3). Termos positivos:
1\cdot0\cdot3=0,\qquad 1\cdot5\cdot0=0,\qquad 10\cdot1\cdot1=10,
soma positiva =10.
Termos a subtrair:
10\cdot0\cdot0=0,\qquad 1\cdot5\cdot1=5,\qquad 1\cdot1\cdot3=3,
soma a subtrair =0+5+3=8.
Logo
\det(A_3)=10-8=2.
Portanto
z=\frac{\det(A_3)}{\det(A)}=\frac{2}{2}=1.]

Passo 8

Verificação rápida (substituir na forma original para dar confiança):
x+y-10=6+4-10=0,\qquad x-z-5=6-1-5=0,\qquad y-z-3=4-1-3=0.
Todas as equações ficam satisfeitas; a solução está correta.

Resposta

x=6
y=4
z=1

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