Classifique e resolva os sistemas:
\left\{\begin{array}{l}2 x+2 y=8 \\\ x+y=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema e resolver (achar todas as soluções). O sistema dado é:
\begin{cases} 2x+2y=8\\[4pt] x+y=4 \end{cases}
Informações relevantes: as duas equações são lineares em x e y. A tarefa é dizer se o sistema tem exatamente uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções, e em seguida apresentar todas as soluções.]

Passo 2

Vamos entender uma maneira simples de comparar as duas equações: observar se uma é múltipla da outra. Vou mostrar isso passo a passo.
Escrevo a segunda equação e multiplico ambos os lados por 2:
2\cdot(x+y)=2\cdot 4
Agora calculo os dois lados:
2x+2y=8

Passo 3

Comparei o resultado do passo anterior com a primeira equação do sistema. A primeira equação é exatamente
2x+2y=8
Logo, a primeira equação é apenas o dobro da segunda. Isso significa que as duas equações representam a mesma reta no plano: não há informação nova na primeira em relação à segunda.

Passo 4

Interpretação algébrica do passo anterior: se uma equação é múltipla da outra, então ao eliminarmos termos obteremos uma identidade (como 0=0), não uma contradição (como 0=5). Faço a operação típica de eliminação para ilustrar:
Subtraio 2 vezes a segunda equação da primeira:
(2x+2y)-(2\cdot(x+y))=8-(2\cdot 4)
No lado esquerdo
2x+2y-2x-2y=0
No lado direito
8-8=0
Fica 0=0, ou seja, nenhuma nova restrição — o sistema tem um grau de liberdade.

Passo 5

Conclusão sobre a classificação com explicação (didática e amigável): quando as equações são múltiplas, temos infinitas soluções porque toda solução da segunda equação também satisfaz a primeira. Em linguagem de sistemas lineares, o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções). Não se assuste: isso significa que as soluções formam uma reta no plano.

Passo 6

Agora vamos escrever explicitamente todas as soluções. A equação mais simples é a segunda:
x+y=4
Para descrever todas as soluções, escolhemos um parâmetro (um número livre). Vou chamar o parâmetro de t e tomar
y=t,\quad \text{com } t\in\mathbb{R}.
Substituo na equação x+y=4 para achar x:
x+ t = 4
Logo
x=4-t.

Passo 7

Portanto todas as soluções são os pares (x,y) da forma
(x,y)=(4-t,\; t)
com t\in\mathbb{R}. Posso também escrever a solução como o conjunto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=4\}.
Exemplos numéricos rápidos para fixar: se t=0 então (x,y)=(4,0); se t=2 então (x,y)=(2,2); se t=4 então (x,y)=(0,4).

Resposta

Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+y=4\} ou (x,y)=(4-t,\;t),\; t\in\mathbb{R}

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