Classifique e resolva os sistemas:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema e resolver (achar todas as soluções). O sistema dado é:
Informações relevantes: as duas equações são lineares em
e
. A tarefa é dizer se o sistema tem exatamente uma solução, nenhuma solução ou infinitas soluções, e em seguida apresentar todas as soluções.]
Passo 2
Vamos entender uma maneira simples de comparar as duas equações: observar se uma é múltipla da outra. Vou mostrar isso passo a passo.
Escrevo a segunda equação e multiplico ambos os lados por :
Escrevo a segunda equação e multiplico ambos os lados por
Agora calculo os dois lados:
Passo 3
Comparei o resultado do passo anterior com a primeira equação do sistema. A primeira equação é exatamente
Logo, a primeira equação é apenas o dobro da segunda. Isso significa que as duas equações representam a mesma reta no plano: não há informação nova na primeira em relação à segunda.
Passo 4
Interpretação algébrica do passo anterior: se uma equação é múltipla da outra, então ao eliminarmos termos obteremos uma identidade (como
), não uma contradição (como
). Faço a operação típica de eliminação para ilustrar:
Subtraio vezes a segunda equação da primeira:
Subtraio
No lado esquerdo
No lado direito
Fica
, ou seja, nenhuma nova restrição — o sistema tem um grau de liberdade.
Passo 5
Conclusão sobre a classificação com explicação (didática e amigável): quando as equações são múltiplas, temos infinitas soluções porque toda solução da segunda equação também satisfaz a primeira. Em linguagem de sistemas lineares, o sistema é compatível indeterminado (tem infinitas soluções). Não se assuste: isso significa que as soluções formam uma reta no plano.
Passo 6
Agora vamos escrever explicitamente todas as soluções. A equação mais simples é a segunda:
Para descrever todas as soluções, escolhemos um parâmetro (um número livre). Vou chamar o parâmetro de
e tomar
Substituo na equação
para achar
:
Logo
Passo 7
Portanto todas as soluções são os pares
da forma
com
. Posso também escrever a solução como o conjunto
Exemplos numéricos rápidos para fixar: se
então
; se
então
; se
então
.
Resposta
Sistema compatível indeterminado (infinitas soluções).
ou