Resolva os sistemas, usando a regra de Cramer.
\left{ \begin{array}{rl}x+y & =1 \\ 2 x+z & =1 \\ x+2 y+2 z & =-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + y = 1,\\\\ 2x + z = 1,\\\ x + 2y + 2z = -1 \end{cases}
usando a regra de Cramer. Vamos montar a matriz de coeficientes, calcular o determinante principal e depois os determinantes substituídos para x, y e z.

Passo 2

Calculamos o determinante principal \Delta da matriz de coeficientes
\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
\Delta = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} +0\cdot(\cdots) = 1\,(0\cdot2-1\cdot2)-1\,(2\cdot2-1\cdot1) = -2-3 = -5.

Passo 3

Substituímos a coluna de x pelos termos independentes e calculamos \Delta_x:
\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 0 & 1\\\\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} = 1\,(0\cdot2-1\cdot2)-1\,(1\cdot2-1\cdot(-1)) = -2-3 = -5.

Passo 4

Substituímos a coluna de y pelos termos independentes e calculamos \Delta_y:
\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 1\,(1\cdot2-1\cdot(-1))-1\,(2\cdot2-1\cdot1) = 3-3 = 0.

Passo 5

Substituímos a coluna de z pelos termos independentes e calculamos \Delta_z:
\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}
Expandindo pela primeira linha:
\Delta_z = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 2 & -1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 1\,(0\cdot(-1)-1\cdot2)-1\,(2\cdot(-1)-1\cdot1)+1\,(2\cdot2-0\cdot1) = -2-(-3)+4 = 5.

Passo 6

Pela regra de Cramer,
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-5}{-5}=1,\quad y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{0}{-5}=0,\quad z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{5}{-5}=-1.

Resposta

(x,y,z) = (1,0,-1)

Exercícios relacionados