Resolva os sistemas, usando a regra de Cramer.
\left{ \begin{array} { r l } { y + 2 z } & { = 1 } \\ { 2 x + 4 y + z } & { = 0 } \\ { x + 2 y } & { = 1 } \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} y + 2z = 1,\\\\ 2x + 4y + z = 0,\\\ x + 2y = 1 \end{cases}
usando a regra de Cramer. Vamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante principal D e depois os determinantes D_x, D_y e D_z obtidos ao substituir cada coluna pelo vetor de termos independentes.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 2 & 4 & 1\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix},
e o vetor de termos independentes é \bigl(1,0,1\bigr)^{T}. O determinante principal D=\det(A) vale
D = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 2 & 4 & 1\\\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}4&1\\\ 2&0\end{smallmatrix}\bigr| -1\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}2&1\\\ 1&0\end{smallmatrix}\bigr| +2\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}2&4\\\ 1&2\end{smallmatrix}\bigr| = -1\,(2\cdot0-1\cdot1)+2\,(2\cdot2-4\cdot1) = 1+0 =1.
Como D\neq0, podemos aplicar Cramer.

Passo 3

Para calcular D_x, substituímos a coluna de x pelo vetor (1,0,1):
D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 4 & 1\\\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}4&1\\\ 2&0\end{smallmatrix}\bigr| -1\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}0&1\\\ 1&0\end{smallmatrix}\bigr| +2\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}0&4\\\ 1&2\end{smallmatrix}\bigr| = 1\,(4\cdot0-1\cdot2)-1\,(0\cdot0-1\cdot1)+2\,(0\cdot2-4\cdot1) = -2+1-8 = -9.

Passo 4

Para D_y, substituímos a coluna de y:
D_y = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 2 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}0&1\\\ 1&0\end{smallmatrix}\bigr| -1\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}2&1\\\ 1&0\end{smallmatrix}\bigr| +2\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}2&0\\\ 1&1\end{smallmatrix}\bigr| = -1\,(2\cdot0-1\cdot1)+2\,(2\cdot1-0\cdot1) = 1+4 =5.
Para D_z, substituímos a coluna de z:
D_z = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1\\\\ 2 & 4 & 0\\\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}4&0\\\ 2&1\end{smallmatrix}\bigr| -1\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}2&0\\\ 1&1\end{smallmatrix}\bigr| +1\cdot\bigl|\begin{smallmatrix}2&4\\\ 1&2\end{smallmatrix}\bigr| = -1\,(2\cdot1-0\cdot1)+1\,(2\cdot2-4\cdot1) = -2+0 = -2.

Passo 5

Pela regra de Cramer, as soluções são
x = \frac{D_x}{D} = \frac{-9}{1} = -9,\quad y = \frac{D_y}{D} = \frac{5}{1} = 5,\quad z = \frac{D_z}{D} = \frac{-2}{1} = -2.

Resposta

x=-9,\;y=5,\;z=-2.

Exercícios relacionados