Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
a) y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t ; y(0)=0, y^prime(0)=0 Resposta: y(t)=16 t^3 e^t.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais
y’’ - 2y’ + y = t e^t , y(0)=0 , y’(0)=0
usando o método das transformadas de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de transformada de derivadas:
Ly' = s,Y(s) - y(0), Ly'' = s^2,Y(s) - s,y(0) - y'(0),
e da transformada de t e^at:
Lt e^at = 1(s - a)^2

Passo 2

Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' - 2y' + y = t e^t
usando as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. No lado esquerdo:
Ly'' - 2,Ly' + Ly = (s^2 Y(s) - scdot0 - 0) - 2(s Y(s) - 0) + Y(s) = (s^2 - 2s + 1),Y(s) = (s-1)^2 Y(s)
No lado direito:
Lt e^t = 1(s - 1)^2
Logo, a equação no domínio de s fica:
(s-1)^2 ,Y(s) = 1(s - 1)^2

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) = 1(s - 1)^2cdot1(s - 1)^2 = 1(s - 1)^4

Passo 4

Para voltar ao domínio do tempo, usamos a fórmula da transformada inversa:
L^-11(s - a)^n = t^n-1(n-1)!,e^a t
Aqui a=1 e n=4, então
y(t) = t^4-13!,e^1,t = t^36,e^t

Passo 5

Concluímos que a solução do problema de valor inicial é dada por:

Resposta

y(t) = 16 t^3 e^t

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