Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
a)
Resposta:
.
a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais
y’’ - 2y’ + y = t e^t , y(0)=0 , y’(0)=0
usando o método das transformadas de Laplace. Vamos precisar das fórmulas de transformada de derivadas:
e da transformada de
:
Passo 2
Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
usando as condições iniciais
e
. No lado esquerdo:
No lado direito:
Logo, a equação no domínio de
fica:
Passo 3
Isolamos
:
Passo 4
Para voltar ao domínio do tempo, usamos a fórmula da transformada inversa:
Aqui
e
, então
Passo 5
Concluímos que a solução do problema de valor inicial é dada por: