sumk=1^infty 7^k+3^k5^k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série infinita sumk=1^infty 7^k + 3^k5^k. O conteúdo principal aqui é o estudo de séries geométricas e o teste de convergência para cada termo.

Passo 2

Vamos escrever a soma como a soma de duas séries separadas:
sumk=1^infty 7^k + 3^k5^k = sumk=1^infty l(75r)^k + sumk=1^infty l(35r)^k

Passo 3

Lembrando que uma série geométrica sumk=1^infty r^k converge somente se |r|<1 e, nesse caso, sua soma é r1 - r. Caso |r|>= 1, a série diverge.

Passo 4

No nosso caso, para r = tfrac75 temos |r| = 1,4 > 1, então sum (tfrac75)^k diverge. Já para r = tfrac35 temos |r| = 0,6 < 1, de modo que sum (tfrac35)^k converge, mas como uma das duas séries diverge, a soma total diverge.

Resposta

A série diverge, pois contém o termo geométrico (7/5)^k com razão |7/5|>1.

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