Resolva
5.1(3 x^2+6 x y^2)+(6 x^2 y+4 y^3) y^prime=0

Passo 1

A equação dada é (3x^2+6xy^2)+(6x^2y+4y^3)y'=0. Isso é uma EDO de primeira ordem na forma M(x,y)+N(x,y)y'=0, onde vamos verificar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial cuja diferencial seja nula.

Passo 2

Identificamos M(x,y)=3x^2+6xy^2 e N(x,y)=6x^2y+4y^3. Calculamos as derivadas parciais:
  • partial Mpartial y=partialpartial y(3x^2+6xy^2)=12xy.
  • partial Npartial x=partialpartial x(6x^2y+4y^3)=12xy.

Passo 3

Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 4

Para resolver, buscamos Phi(x,y) tal que Phix=M e Phiy=N. Integramos M em relação a x:
Phi(x,y)=integral(3x^2+6xy^2),dx = x^3+3x^2y^2 + h(y)

Passo 5

Em seguida, igualamos Phiy a N. Temos
Phiy = partialpartial y(x^3+3x^2y^2 + h(y)) =6x^2y + h'(y) overset!= 6x^2y+4y^3

Passo 6

Daí h'(y)=4y^3, logo
h(y)=integral4y^3,dy = y^4 + C1

Passo 7

Portanto, a função potencial é
Phi(x,y)=x^3+3x^2y^2+y^4

Passo 8

A solução geral da EDO exata é dada por Phi(x,y)=C.

Resposta

x^3 + 3x2y2 + y^4 = C

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