Resolva: x y^{\prime}+2 y=x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial x\,y' + 2\,y = x^{3}.
Isso é uma equação linear de primeira ordem, que tem a forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)
e pode ser resolvida com fator integrante.

Passo 2

Primeiro dividimos tudo por x (supondo x\neq0) para obter a forma padrão:
y' + \frac{2}{x}\,y = x^{2}.
Aqui p(x)=\tfrac{2}{x} e q(x)=x^{2}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr)=\exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr)=x^{2}.

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. No lado esquerdo surge a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr)=x^{2}\,y' + 2x\,y = x^{2}\cdot x^{2} = x^{4}.
Agora integramos ambos os lados:
x^{2}y = \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5} + C.
Finalmente isolamos y:
y = \frac{x^{5}}{5\,x^{2}} + \frac{C}{x^{2}} = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}.

Resposta

y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}.

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