Resolva a EDO: y^{\prime}+2 y=e^{-x}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 2y = e^{-x}.
O que precisamos é aplicar o método do fator integrante para EDOs da forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde aqui P(x)=2 e Q(x)=e^{-x}.

Passo 2

Calcular o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}.

Passo 3

Multiplicar toda a equação original por \mu(x). Assim obtemos
e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}.
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto \mu(x)\,y, ou seja,
\bigl(e^{2x}y\bigr)' = e^{x}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{2x}y\bigr)'\,dx = \int e^{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{2x}y = e^{x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolar y dividindo por e^{2x}:
y(x) = \frac{e^{x} + C}{e^{2x}} = e^{x}e^{-2x} + C\,e^{-2x} = e^{-x} + C\,e^{-2x}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = e^{-x} + C\,e^{-2x}.

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