Resolva:
(a) x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-3 y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x^{2}y''+3x y'-3y=0
e pede a solução geral y(x) dessa equação. Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com duas constantes arbitrárias) válida num intervalo onde a equação está definida (isto é, em intervalos que não contenham x=0).

Passo 2

Observação sobre a forma da equação (por que esse método?): as potências de x multiplicando y'',y' e y sugerem tentar uma solução do tipo potência, isto é
y=x^{m},
com m constante. Essa é a ideia clássica para equações de Euler–Cauchy: elas transformam derivadas em fatores polinomiais de m. Vamos aplicar essa tentativa.

Passo 3

Calculemos as derivadas de y=x^{m}. Usando regras elementares de derivação:
y'=m x^{m-1}, \qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Vou deixar explícito o porquê: derivada de x^{m} é m x^{m-1}; derivando novamente multiplica por m-1 e reduz o expoente em mais 1.

Passo 4

Substituímos y,y',y'' na equação dada:
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+3x\big(m x^{m-1}\big)-3\big(x^{m}\big)=0.
Agora simplificamos fatorando potências de x. Note que cada termo contém x^{m}:
x^{2}\cdot m(m-1)x^{m-2}=m(m-1)x^{m}, \qquad 3x\cdot m x^{m-1}=3m x^{m}, \qquad -3x^{m}=-3x^{m}.
Somando-os:
\big(m(m-1)+3m-3\big)x^{m}=0.

Passo 5

Como estamos procurando soluções não-triviais y\not\equiv0, não queremos a solução x^{m} identicamente zero; assim devemos ter o fator entre parênteses nulo. Isso leva à equação característica (polinomial em m):
m(m-1)+3m-3=0.
Desenvolvendo:
m^{2}-m+3m-3=m^{2}+2m-3=0.
Resolvendo a quadrática:
m=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot1\cdot(-3)}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}.
Logo as duas raízes são
m_{1}= \frac{-2+4}{2}=1, \qquad m_{2}=\frac{-2-4}{2}=-3.

Passo 6

As raízes m_{1}=1 e m_{2}=-3 são reais e distintas. Para equações de Euler–Cauchy, quando as raízes da equação característica são reais e distintas, a solução geral é combinação linear das potências correspondentes:
y(x)=C_{1}x^{m_{1}}+C_{2}x^{m_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Substituindo os valores de m_{1},m_{2}:
y(x)=C_{1}x^{1}+C_{2}x^{-3}=C_{1}x+C_{2}x^{-3}.

Passo 7

Breve verificação e comentários práticos:
  • Verificação rápida: como a equação é linear e homogênea, se x^{1} e x^{-3} são soluções individuais (pode-se checar substituindo cada uma separadamente), então qualquer combinação linear também é solução por linearidade.
  • Domínio: a solução está definida para x\neq0. Para x>0 não há problema; para x<0 também funciona porque as potências são inteiras aqui. Se as raízes tivessem sido não inteiras, seria preciso cuidar do sinal de x (usar x^{m}=e^{m\ln|x|}).

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x^{-3}

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