Resolva:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
dessa equação. Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com duas constantes arbitrárias) válida num intervalo onde a equação está definida (isto é, em intervalos que não contenham
).
Passo 2
Observação sobre a forma da equação (por que esse método?): as potências de
multiplicando
e
sugerem tentar uma solução do tipo potência, isto é
com
constante. Essa é a ideia clássica para equações de Euler–Cauchy: elas transformam derivadas em fatores polinomiais de
. Vamos aplicar essa tentativa.
Passo 3
Calculemos as derivadas de
. Usando regras elementares de derivação:
Vou deixar explícito o porquê: derivada de
é
; derivando novamente multiplica por
e reduz o expoente em mais 1.
Passo 4
Substituímos
na equação dada:
Agora simplificamos fatorando potências de
. Note que cada termo contém
:
Somando-os:
Passo 5
Como estamos procurando soluções não-triviais
, não queremos a solução
identicamente zero; assim devemos ter o fator entre parênteses nulo. Isso leva à equação característica (polinomial em
):
Desenvolvendo:
Resolvendo a quadrática:
Logo as duas raízes são
Passo 6
As raízes
e
são reais e distintas. Para equações de Euler–Cauchy, quando as raízes da equação característica são reais e distintas, a solução geral é combinação linear das potências correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias. Substituindo os valores de
:
Passo 7
Breve verificação e comentários práticos:
- Verificação rápida: como a equação é linear e homogênea, se
e são soluções individuais (pode-se checar substituindo cada uma separadamente), então qualquer combinação linear também é solução por linearidade. - Domínio: a solução está definida para
. Para não há problema; para também funciona porque as potências são inteiras aqui. Se as raízes tivessem sido não inteiras, seria preciso cuidar do sinal de (usar ).