Resolva:
(d) x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}y''-x y'+6y=0.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes que dependem de x.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (duas constantes arbitrárias).
  • Como a equação envolve \ln x nas transformações que usaremos, assumiremos inicialmente x>0 (mais adiante comento como estender para x<0).

Passo 2

Estratégia inicial (teste de forma de solução): procurar soluções do tipo
y(x)=x^{r},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explicação do porquê: para equações onde cada termo tem potências de x com graus iguais (aqui x^{2},x,1), a substituição y=x^{r} transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para r — isso torna o problema muito mais simples.
Calcule as derivadas de y=x^{r}:
y'(x)=r x^{r-1}, \qquad y''(x)=r(r-1) x^{r-2}.

Passo 3

Substituir essas derivadas na equação original:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr) - x\bigl(r x^{r-1}\bigr) + 6 x^{r}=0.
Fatorando x^{r} (que para x\neq0 não é zero) obtemos a equação característica em r:
r(r-1)-r+6=0.
Simplificando:
r^{2}-2r+6=0.

Passo 4

Resolver a equação quadrática:
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot6=4-24=-20.
Portanto as raízes são complexas:
r=\frac{2\pm\sqrt{-20}}{2}=1\pm i\sqrt{5}.
Aqui interpretamos r=\alpha\pm i\beta com \alpha=1 e \beta=\sqrt{5}.

Passo 5

Como as raízes são complexas conjugadas, precisamos transformar essa informação numa solução real geral. Há duas formas equivalentes de argumentar; eu mostro a transformação padrão que deixa claro a origem da solução.
Fazer a mudança de variável t=\ln x (válida para x>0) e definir
z(t)=y(e^{t})=y(x).
Usando regra da cadeia obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}z'(t), \qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{1}{x^{2}}\bigl(z''(t)-z'(t)\bigr).
Substituindo na equação dada resulta uma equação com coeficientes constantes para z(t):
z''-2z'+6z=0.
A equação característica desta é
\lambda^{2}-2\lambda+6=0,
cuja solução é \lambda=1\pm i\sqrt{5} — as mesmas raízes que encontramos para r. Para raízes \lambda=\alpha\pm i\beta a solução geral de z(t) é
z(t)=e^{\alpha t}\bigl(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\bigr),
onde C_{1},C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 6

Voltar à variável original x usando t=\ln x. Como e^{\alpha t}=e^{\alpha\ln x}=x^{\alpha} e t=\ln x, obtemos a solução geral real para y(x):
y(x)=x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr).
Substituindo \alpha=1 e \beta=\sqrt{5} obtemos a solução final.
Observação sobre domínio: a construção usou \ln x, portanto a forma apresentada é válida para x>0. Para x<0 pode-se escrever a solução em termos de \ln|x| e, se necessário, incluir um fator de sinal adequado (aqui x^{1}=x é bem definido), mas a forma mais direta e comum é afirmar a solução para x>0.

Resposta

y(x)=x\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\sqrt{5}\,\ln x\bigr)+C_{2}\sin\bigl(\sqrt{5}\,\ln x\bigr)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais.

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