Resolva:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes que dependem de
. - O objetivo é encontrar a solução geral
(duas constantes arbitrárias). - Como a equação envolve
nas transformações que usaremos, assumiremos inicialmente (mais adiante comento como estender para ).
Passo 2
Estratégia inicial (teste de forma de solução): procurar soluções do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo) a determinar. Explicação do porquê: para equações onde cada termo tem potências de
com graus iguais (aqui
), a substituição
transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para
— isso torna o problema muito mais simples.
Calcule as derivadas de
:
Passo 3
Substituir essas derivadas na equação original:
Fatorando
(que para
não é zero) obtemos a equação característica em
:
Simplificando:
Passo 4
Resolver a equação quadrática:
Portanto as raízes são complexas:
Aqui interpretamos
com
e
.
Passo 5
Como as raízes são complexas conjugadas, precisamos transformar essa informação numa solução real geral. Há duas formas equivalentes de argumentar; eu mostro a transformação padrão que deixa claro a origem da solução.
Fazer a mudança de variável
(válida para
) e definir
Usando regra da cadeia obtemos
Substituindo na equação dada resulta uma equação com coeficientes constantes para
:
A equação característica desta é
cuja solução é
— as mesmas raízes que encontramos para
. Para raízes
a solução geral de
é
onde
são constantes reais arbitrárias.
Passo 6
Voltar à variável original
usando
. Como
e
, obtemos a solução geral real para
:
Substituindo
e
obtemos a solução final.
Observação sobre domínio: a construção usou
, portanto a forma apresentada é válida para
. Para
pode-se escrever a solução em termos de
e, se necessário, incluir um fator de sinal adequado (aqui
é bem definido), mas a forma mais direta e comum é afirmar a solução para
.
Resposta
onde
e
são constantes reais.