Resolva:
x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
x^{2}y'' - x\,y' = 1,
que é uma ODE linear não homogênea com coeficientes variáveis e sem termo em y. Como não aparece y diretamente, podemos usar a substituição
p(x)=y'(x),
transformando o problema numa equação de primeira ordem para p.

Passo 2

Com p=y' temos y''=p'. Substituindo na equação original:
x^{2}p' - x\,p = 1.
Isso é uma ODE linear de primeira ordem em p. Vamos escrevê-la na forma padrão
p' - \frac{1}{x}\,p = \frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Para resolver
p' - \frac{1}{x}p = \frac{1}{x^2}
usamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-\ln|x|) = \frac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x)=1/x obtemos
\frac{1}{x}p' - \frac{1}{x^2}p = \frac{1}{x^3} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{p}{x}\Bigr) = \frac{1}{x^3}.
Agora integramos em x:
\frac{p}{x} = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2x^2} + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 5

Isolando p temos
p = y' = x\Bigl(-\frac{1}{2x^2} + C_{1}\Bigr) = -\frac{1}{2x} + C_{1}\,x.
Para achar y, integramos y':
y(x) = \int \Bigl(-\tfrac{1}{2x} + C_{1}x\Bigr)\,dx = -\frac{1}{2}\ln\bigl|x\bigr| + \frac{C_{1}}{2}\,x^{2} + C_{2},
com C_{2} outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = \frac{C_{1}}{2}\,x^{2} \;-\;\frac{1}{2}\ln\bigl|x\bigr|\;+\;C_{2},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes arbitrárias.ãá

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