Resolva:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 3y = 0.
O conteúdo aqui é o método do polinômio característico, em que buscamos soluções da forma exponencial.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^{rx}. Substituindo na equação diferencial, temos
r^2 e^{rx} + 4r e^{rx} + 3e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq0, obtemos o polinômio característico
r^2 + 4r + 3 = 0.

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico, calculamos as raízes:
r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}.
Assim, as raízes são
r_1 = -1 \quad\text{e}\quad r_2 = -3.

Passo 4

Para raízes reais e distintas r_1 e r_2, a solução geral da equação diferencial é
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}.
Substituindo r_1 = -1 e r_2 = -3, obtemos
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}.

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