Resolva:
\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=-2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\begin{cases} y'' + 2y' + 5y = 0,\\\ y(0)=1,\;y'(0)=-2, \end{cases}
que é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver usamos a equação característica e, por se tratar de raízes complexas, a forma geral com e^{\alpha x}\cos(\beta x) e e^{\alpha x}\sin(\beta x).

Passo 2

Formamos a equação característica
r^2 + 2r + 5 = 0.
Calculando o discriminante,
\Delta = 2^2 - 4\cdot1\cdot5 = -16,
logo as raízes são
r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i.
Para raízes r = \alpha \pm i\beta a solução geral é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(A\cos(\beta x) + B\sin(\beta x)\bigr).
Aqui \alpha = -1 e \beta = 2, então
y(x) = e^{-x}\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr).

Passo 3

Usamos a condição y(0)=1:
y(0) = e^{0}\bigl(A\cos0 + B\sin0\bigr) = A = 1.
Portanto A=1.

Passo 4

Agora precisamos de y'(x). Usando regra do produto e derivada de seno e cosseno,
y'(x) = e^{-x}\Bigl[-\bigl(A\cos2x + B\sin2x\bigr) + \bigl(-2A\sin2x + 2B\cos2x\bigr)\Bigr].
Em x=0 isso vira
y'(0) = -\bigl(A\cdot1 + B\cdot0\bigr) + \bigl(-2A\cdot0 + 2B\cdot1\bigr) = -A + 2B.
Como A=1 e y'(0)=-2, temos
-1 + 2B = -2 \quad\Longrightarrow\quad 2B = -1 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac12.

Passo 5

Substituindo A=1 e B=-\tfrac12 na solução geral, obtemos
y(x) = e^{-x}\Bigl(\cos(2x) - \tfrac12\,\sin(2x)\Bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = e^{-x}\Bigl(\cos(2x) - \tfrac12\,\sin(2x)\Bigr).}

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