Resolve:
\frac{d x}{d t}=\frac{x}{t}+t, t>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d x}{d t}=\frac{x}{t}+t,\quad t>0,
e pede para encontrar a solução x(t). Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função x(t).
  • A variável independente é t e foi dado que t>0 (isso garante que t não é zero e que \ln t está bem definido).
  • Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem não homogênea (há um termo independente t à direita).
    A partir daqui vamos resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma linear padrão
\frac{d x}{d t}+P(t)\,x=Q(t).
Reescrevendo a equação dada:
\frac{d x}{d t}-\frac{1}{t}x=t.
Logo identificamos
P(t)=-\frac{1}{t},\qquad Q(t)=t.

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. Ideia: multiplicar a equação por uma função \mu(t) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(t)x(t). O fator integrante é dado por
\mu(t)=\exp\left(\int P(t)\,dt\right).
Explico: se \mu=e^{\int P}, então
\frac{d}{dt}\big(\mu x\big)=\mu\frac{dx}{dt}+\mu' x = \mu\frac{dx}{dt}+\mu P x,
que é exatamente \mu vezes a forma \frac{dx}{dt}+P x. Isso transforma a equação num total derivative fácil de integrar.

Passo 4

Calculemos o fator integrante:
\mu(t)=\exp\left(\int -\frac{1}{t}\,dt\right)=\exp\big(-\ln t\big).
Como t>0 podemos simplificar \exp(-\ln t)=t^{-1}. Portanto
\mu(t)=t^{-1}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=t^{-1}:
t^{-1}\frac{dx}{dt}-t^{-2}x = 1.
Agora verificamos que o lado esquerdo é a derivada de t^{-1}x. De fato,
\frac{d}{dt}\big(t^{-1}x\big)=t^{-1}\frac{dx}{dt}+x\frac{d}{dt}(t^{-1})=t^{-1}\frac{dx}{dt}-t^{-2}x,
que coincide com o que obtivemos. Assim a equação fica
\frac{d}{dt}\big(t^{-1}x\big)=1.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\big(t^{-1}x\big)\,dt=\int 1\,dt.
Isso dá
t^{-1}x = t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Isolamos x:
x(t)=t\big(t+C\big)=t^{2}+Ct.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Esta é a solução geral da equação diferencial no intervalo t>0.

Passo 8

Vamos checar rapidamente substituindo de volta na equação para ganhar confiança. Derivando x(t)=t^{2}+Ct obtemos
\frac{dx}{dt}=2t+C.
Calculando o lado direito da equação original:
\frac{x}{t}+t=\frac{t^{2}+Ct}{t}+t=t+C+t=2t+C,
que coincide com \frac{dx}{dt}. Está correto.

Passo 9

Como reforço didático, mostro uma alternativa (clássica) dividida em duas etapas: solução da homogênea + procura de uma particular.
  • Homogênea: \frac{dx}{dt}=\frac{x}{t}. Isso separa para \frac{dx}{x}=\frac{dt}{t}, integrando dá \ln|x|=\ln t + \ln K, então x_h=K t.
  • Particular: como o termo forçante é um polinômio em t de grau 1, tentamos x_p=a t^{2}. Derivando \frac{dx_p}{dt}=2a t e substituindo na equação:
2a t = \frac{a t^{2}}{t}+t = a t + t.
Dividindo por t (pois t>0) obtemos 2a=a+1\Rightarrow a=1. Assim x_p=t^{2}. Somando as partes:
x=x_h+x_p=K t + t^{2},
que é a mesma solução encontrada antes com C=K.

Passo 10

Respire fundo — você já tem a solução geral e duas maneiras de chegar nela. Se te derem uma condição inicial x(t_{0})=x_{0}, basta substituir t=t_{0} na expressão x(t)=t^{2}+Ct e resolver para C. Força aí, você consegue!

Resposta

x(t)=t^{2}+Ct

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