Resolve:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução
. Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A variável independente é
e foi dado que (isso garante que não é zero e que está bem definido). - Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem não homogênea (há um termo independente
à direita).
A partir daqui vamos resolver a equação passo a passo.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma linear padrão
Reescrevendo a equação dada:
Logo identificamos
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. Ideia: multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de
. O fator integrante é dado por
Explico: se
, então
que é exatamente
vezes a forma
. Isso transforma a equação num total derivative fácil de integrar.
Passo 4
Calculemos o fator integrante:
Como
podemos simplificar
. Portanto
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
Agora verificamos que o lado esquerdo é a derivada de
. De fato,
que coincide com o que obtivemos. Assim a equação fica
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolamos
:
Aqui
é uma constante arbitrária real. Esta é a solução geral da equação diferencial no intervalo
.
Passo 8
Vamos checar rapidamente substituindo de volta na equação para ganhar confiança. Derivando
obtemos
Calculando o lado direito da equação original:
que coincide com
. Está correto.
Passo 9
Como reforço didático, mostro uma alternativa (clássica) dividida em duas etapas: solução da homogênea + procura de uma particular.
- Homogênea:
. Isso separa para , integrando dá , então . - Particular: como o termo forçante é um polinômio em
de grau , tentamos . Derivando e substituindo na equação:
Dividindo por
(pois
) obtemos
. Assim
. Somando as partes:
que é a mesma solução encontrada antes com
.
Passo 10
Respire fundo — você já tem a solução geral e duas maneiras de chegar nela. Se te derem uma condição inicial
, basta substituir
na expressão
e resolver para
. Força aí, você consegue!