Resolve:
\frac{d x}{d t}=2 x-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as funções x(t) que satisfazem a equação diferencial
\frac{d x}{d t}=2x-1.
Informações dadas: a equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com o termo 2x-1. Não foi fornecida nenhuma condição inicial, então devemos obter a solução geral (com uma constante arbitrária).

Passo 2

Colocamos a equação na forma linear padrão. Subtraindo 2x dos dois lados obtemos
\frac{d x}{d t}-2x=-1.
Aqui a ideia é reconhecer uma equação da forma \frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t); no nosso caso p(t)=-2 e q(t)=-1. A expressão está pronta para aplicar um método sistemático.

Passo 3

Vou usar o método do fator integrante. Conceito rápido e útil: se temos
\frac{dx}{dt}+p(t)x=q(t),
então o fator integrante é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
Multiplicar a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto \mu(t)x(t), o que facilita integrar ambos os lados. Vou aplicar isso aqui com p(t)=-2.

Passo 4

Calculo do fator integrante:
\mu(t)=e^{\int -2\,dt}=e^{-2t}.

Passo 5

Multiplico a equação por \mu(t)=e^{-2t}. Temos
e^{-2t}\frac{dx}{dt}-2e^{-2t}x = -e^{-2t}.
Repare que, pela regra do produto, a derivada de e^{-2t}x é
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}x\bigr)=e^{-2t}\frac{dx}{dt}+ \bigl(e^{-2t}\bigr)'\,x = e^{-2t}\frac{dx}{dt}-2e^{-2t}x.
Portanto a equação fica simplesmente
\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}x\bigr) = -e^{-2t}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}x\bigr)\,dt = \int -e^{-2t}\,dt.
O lado esquerdo vira e^{-2t}x. Para o lado direito calculo a integral:
\int -e^{-2t}\,dt = -\int e^{-2t}\,dt = -\left(\frac{e^{-2t}}{-2}\right) + C = \frac{e^{-2t}}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Então obtemos
e^{-2t}x = \frac{e^{-2t}}{2} + C.
Multiplico ambos os lados por e^{2t} para isolar x:
x(t) = \frac{1}{2} + C e^{2t}.
Pronto: essa é a solução geral, com C constante arbitrária.

Passo 8

Verificação alternativa (boa para a prova): achar uma solução particular constante e a solução da homogênea. Se buscarmos uma solução particular constante x_p, colocamos \frac{dx}{dt}=0 e obtemos 0=2x_p-1, logo x_p=\frac{1}{2}. A equação homogênea é \frac{dx}{dt}=2x, cuja solução geral é x_h(t)=K e^{2t}. A solução geral é x=x_p+x_h=\frac{1}{2}+K e^{2t}, que coincide com o resultado anterior (aqui K=C). Essa abordagem é mais curta e muito usada em provas.

Passo 9

Interpretação rápida (motivação para lembrar): a solução tem a forma x(t)=\frac{1}{2}+C e^{2t}. O termo C e^{2t} cresce rápido quando t\to\infty se C\neq 0; a constante \frac{1}{2} é o ponto de equilíbrio (solução constante). Se houver condição inicial x(t_0)=x_0, você determina C por C=e^{-2t_0}\bigl(x_0-\tfrac12\bigr).

Resposta

x(t)=\frac{1}{2}+C e^{2t}.

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