Resolve:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as funções
que satisfazem a equação diferencial
Informações dadas: a equação é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com o termo
. Não foi fornecida nenhuma condição inicial, então devemos obter a solução geral (com uma constante arbitrária).
Passo 2
Colocamos a equação na forma linear padrão. Subtraindo
dos dois lados obtemos
Aqui a ideia é reconhecer uma equação da forma
; no nosso caso
e
. A expressão está pronta para aplicar um método sistemático.
Passo 3
Vou usar o método do fator integrante. Conceito rápido e útil: se temos
então o fator integrante é
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo em uma derivada do produto
, o que facilita integrar ambos os lados. Vou aplicar isso aqui com
.
Passo 4
Calculo do fator integrante:
Passo 5
Multiplico a equação por
. Temos
Repare que, pela regra do produto, a derivada de
é
Portanto a equação fica simplesmente
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo vira
. Para o lado direito calculo a integral:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Então obtemos
Multiplico ambos os lados por
para isolar
:
Pronto: essa é a solução geral, com
constante arbitrária.
Passo 8
Verificação alternativa (boa para a prova): achar uma solução particular constante e a solução da homogênea. Se buscarmos uma solução particular constante
, colocamos
e obtemos
, logo
. A equação homogênea é
, cuja solução geral é
. A solução geral é
, que coincide com o resultado anterior (aqui
). Essa abordagem é mais curta e muito usada em provas.
Passo 9
Interpretação rápida (motivação para lembrar): a solução tem a forma
. O termo
cresce rápido quando
se
; a constante
é o ponto de equilíbrio (solução constante). Se houver condição inicial
, você determina
por
.