Resolve:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que ele pede implicitamente é encontrar a solução geral
dessa equação no intervalo indicado. Informação importante dada: o intervalo de validade é
, que vamos usar quando tratarmos de valores absolutos e sinais.
Passo 2
Aqui vamos identificar o método a usar (sem resolver ainda): a equação é separável porque a derivada
é um produto de uma função de
(no caso
) por uma função de
(no caso
). Em uma equação separável a ideia é colocar todos os termos com
do mesmo lado e todos os termos com
do outro, para então integrar ambos os lados. Vou explicar a técnica com calma:
Se tivermos uma equação da forma
Se tivermos uma equação da forma
podemos reescrever como
e depois integrar ambos os lados. Aqui
e
.
Passo 3
Separe as variáveis: divido ambos os lados por
(desde já lembrando que a solução
é uma solução especial que aparece quando permitimos a constante igual a zero) e multiplico por
, obtendo
Agora integro os dois lados.
Passo 4
Integração dos dois lados. À esquerda usamos a primitiva de
, que é logaritmo; à direita precisamos integrar
. Escrevo:
A esquerda dá
Para a direita, faço frações parciais: como
, existe decomposição
Verificação rápida: combinando os dois termos obtemos
. Então
Passo 5
Igualando as primitivas (podia juntar as constantes
e
numa só constante
) temos
Uso propriedades de logaritmo para combinar:
Exponenciando ambos os lados:
Chamo
de constante positiva
, então
Agora uso o fato do enunciado de que estamos no intervalo
. Nesse intervalo temos
(porque
) e
(porque
). Assim
que é positivo no intervalo
. Portanto
Podemos eliminar o valor absoluto em
absorvendo o sinal em uma constante real
(que pode ser positiva, negativa ou zero):
, com
. Observação:
corresponde à solução trivial
.
Passo 6
Resumo e verificação rápida: a solução geral no intervalo
é
Se quiser verificar derivando, ao substituir essa expressão em
você recupera
(a verificação é um exercício de diferenciação usando regra da cadeia e simplificação). A constante
é a constante de integração que aparece por causa da integração indefinida.