Resolve:
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x^{2}-1},-1<x<1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x^{2}-1},\quad -1<x<1.
O que ele pede implicitamente é encontrar a solução geral y(x) dessa equação no intervalo indicado. Informação importante dada: o intervalo de validade é -1<x<1, que vamos usar quando tratarmos de valores absolutos e sinais.

Passo 2

Aqui vamos identificar o método a usar (sem resolver ainda): a equação é separável porque a derivada dy/dx é um produto de uma função de y (no caso y) por uma função de x (no caso 1/(x^2-1)). Em uma equação separável a ideia é colocar todos os termos com y do mesmo lado e todos os termos com x do outro, para então integrar ambos os lados. Vou explicar a técnica com calma:
Se tivermos uma equação da forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y),
podemos reescrever como
\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx
e depois integrar ambos os lados. Aqui h(y)=y e g(x)=1/(x^2-1).

Passo 3

Separe as variáveis: divido ambos os lados por y (desde já lembrando que a solução y\equiv0 é uma solução especial que aparece quando permitimos a constante igual a zero) e multiplico por dx, obtendo
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.
Agora integro os dois lados.

Passo 4

Integração dos dois lados. À esquerda usamos a primitiva de 1/y, que é logaritmo; à direita precisamos integrar 1/(x^{2}-1). Escrevo:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx.
A esquerda dá
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_{1}.
Para a direita, faço frações parciais: como x^{2}-1=(x-1)(x+1), existe decomposição
\frac{1}{x^{2}-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right).
Verificação rápida: combinando os dois termos obtemos \frac{1}{2}\cdot\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{(x^{2}-1)}. Então
\int \frac{1}{x^{2}-1}\,dx = \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)dx = \frac{1}{2}\big(\ln|x-1|-\ln|x+1|\big) + C_{2}.

Passo 5

Igualando as primitivas (podia juntar as constantes C_{1} e C_{2} numa só constante C) temos
\ln|y| = \frac{1}{2}\big(\ln|x-1|-\ln|x+1|\big) + C.
Uso propriedades de logaritmo para combinar:
\ln|y| = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{|x-1|}{|x+1|}\right) + C.
Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C}\left(\frac{|x-1|}{|x+1|}\right)^{1/2}.
Chamo e^{C} de constante positiva C_{0}>0, então
|y| = C_{0}\sqrt{\frac{|x-1|}{|x+1|}}.
Agora uso o fato do enunciado de que estamos no intervalo -1<x<1. Nesse intervalo temos |x+1|=x+1 (porque x+1>0) e |x-1|=1-x (porque x-1<0). Assim
\frac{|x-1|}{|x+1|}=\frac{1-x}{x+1},
que é positivo no intervalo -1<x<1. Portanto
|y| = C_{0}\sqrt{\frac{1-x}{x+1}}.
Podemos eliminar o valor absoluto em y absorvendo o sinal em uma constante real C (que pode ser positiva, negativa ou zero): y = C\sqrt{\dfrac{1-x}{x+1}}, com C\in\mathbb{R}. Observação: C=0 corresponde à solução trivial y\equiv0.

Passo 6

Resumo e verificação rápida: a solução geral no intervalo -1<x<1 é
y(x)=C\sqrt{\frac{1-x}{1+x}},\quad C\in\mathbb{R}.
Se quiser verificar derivando, ao substituir essa expressão em \dfrac{dy}{dx} você recupera \dfrac{y}{x^{2}-1} (a verificação é um exercício de diferenciação usando regra da cadeia e simplificação). A constante C é a constante de integração que aparece por causa da integração indefinida.

Resposta

y(x)=C\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}},\quad C\in\mathbb{R}

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