Resolva as equações de Bernoulli
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo
e . - A variável
aparece também no denominador, então devemos lembrar que onde a equação estiver bem definida. - O objetivo é encontrar a solução geral
(com uma constante arbitrária).
Passo 2
Vamos reescrever a equação numa forma que facilite uma substituição:
Note que o termo à direita é proporcional a
. Quando a equação tem um termo
(aqui
), uma substituição do tipo
transforma a equação numa equação linear em
. Como
, tomamos a substituição
Vou explicar: escolhemos
porque isso transforma o fator
em algo em função de
(mais simples de resolver).
Passo 3
Calculemos a derivada de
em relação a
:
Agora substituímos
da equação original:
Simplificando cada termo:
Como
, obtemos uma equação linear em
:
Passo 4
Reescrevendo em forma padrão linear:
A partir daqui usamos o fator integrante. O coeficiente de
é
, então o fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo
Integramos ambos os lados em
:
Calculamos a integral por partes. Tome
e
. Então
e
. Assim
Simplificando:
A integral remanescente é
. Portanto
Voltando à expressão para
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Lembrando que
, temos
onde
é a constante de integração. Tomando raiz quadrada,
Observações importantes para a prova:
- A solução exige
inicialmente pela forma original; a solução obtida não inclui (que não é solução válida da equação original). - Para que
seja real o radicando deve ser não negativo; isso impõe restrições na constante e no intervalo de , caso queiramos soluções reais.