Resolva as equações de Bernoulli
\frac{d y}{d x}=5 y-\frac{4 x}{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=5y-\frac{4x}{y}.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial de primeira ordem envolvendo y e x.
  • A variável y aparece também no denominador, então devemos lembrar que y\neq0 onde a equação estiver bem definida.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x) (com uma constante arbitrária).

Passo 2

Vamos reescrever a equação numa forma que facilite uma substituição:
\frac{d y}{d x}-5y=-\frac{4x}{y}.
Note que o termo à direita é proporcional a y^{-1}. Quando a equação tem um termo y^n (aqui n=-1), uma substituição do tipo z=y^{1-n} transforma a equação numa equação linear em z. Como n=-1, tomamos a substituição
z = y^{2}.
Vou explicar: escolhemos z=y^{2} porque isso transforma o fator y^{-1} em algo em função de z (mais simples de resolver).

Passo 3

Calculemos a derivada de z em relação a x:
\frac{d z}{d x} = \frac{d}{d x}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\frac{d y}{d x}.
Agora substituímos \frac{d y}{d x} da equação original:
\frac{d z}{d x}=2y\left(5y-\frac{4x}{y}\right).
Simplificando cada termo:
\frac{d z}{d x}=2(5y^{2})-2(4x)=10y^{2}-8x.
Como y^{2}=z, obtemos uma equação linear em z:
\frac{d z}{d x}=10z-8x.

Passo 4

Reescrevendo em forma padrão linear:
\frac{d z}{d x}-10z=-8x.
A partir daqui usamos o fator integrante. O coeficiente de z é -10, então o fator integrante é
\mu(x)=\exp\left(\int -10\,dx\right)=e^{-10x}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
e^{-10x}\frac{d z}{d x}-10e^{-10x}z=-8x e^{-10x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \frac{d}{d x}\bigl(e^{-10x} z\bigr), logo
\frac{d}{d x}\bigl(e^{-10x} z\bigr)=-8x e^{-10x}.
Integramos ambos os lados em x:
e^{-10x} z=\int -8x e^{-10x}\,dx + C.
Calculamos a integral por partes. Tome u=-8x e dv=e^{-10x}dx. Então du=-8dx e v=-\tfrac{1}{10}e^{-10x}. Assim
\int -8x e^{-10x}\,dx = (-8x)\left(-\tfrac{1}{10}e^{-10x}\right)-\int\left(-\tfrac{1}{10}e^{-10x}\right)(-8)\,dx.
Simplificando:
\int -8x e^{-10x}\,dx = \frac{8}{10}x e^{-10x}-\frac{8}{10}\int e^{-10x}\,dx.
A integral remanescente é \int e^{-10x}\,dx=-\tfrac{1}{10}e^{-10x}. Portanto
\int -8x e^{-10x}\,dx = \frac{4}{5}x e^{-10x}-\frac{8}{10}\left(-\tfrac{1}{10}e^{-10x}\right) = e^{-10x}\left(\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}\right).
Voltando à expressão para z:
e^{-10x} z = e^{-10x}\left(\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}\right)+C.
Multiplicando por e^{10x} obtemos
z=\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}+C e^{10x}.

Passo 5

Lembrando que z=y^{2}, temos
y^{2}=\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}+C e^{10x},
onde C é a constante de integração. Tomando raiz quadrada,
y(x)=\pm\sqrt{\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}+C e^{10x}}.
Observações importantes para a prova:
  • A solução exige y\neq0 inicialmente pela forma original; a solução obtida não inclui y\equiv0 (que não é solução válida da equação original).
  • Para que y(x) seja real o radicando deve ser não negativo; isso impõe restrições na constante C e no intervalo de x, caso queiramos soluções reais.

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\frac{4}{5}x+\frac{2}{25}+C e^{10x}},\quad C\in\mathbb{R}.

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