Resolve as seguintes edo yx cos (yx)-(xy sen(yx)+cos (yx)) y^prime=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve funções trigonométricas e derivadas de em relação a . Para resolver essa EDO, vamos precisar usar métodos de substituição e integração, aplicando conceitos de cálculo diferencial.

Passo 2

Vamos simplificar a equação fazendo uma substituição. Seja y' = z + x cdot z' . Isso significa que . Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 3

Substituímos yx cos(yx) - (xy sen(yx) + cos(yx)) y' = 0 e z cos(z) - (1z sen(z) + cos(z)) (z + x cdot z') = 0 na equação original:
Com e , a equação fica:

Passo 4

Vamos expandir e simplificar a equação:
Percebemos que alguns termos se cancelam:

Passo 5

Isolamos z' = sen(z)x (sen(z)z + cos(z)) :
Essa é uma equação separável, onde podemos separar as variáveis e .

Passo 6

Reescrevemos a equação para separar as variáveis:
(1z + cot(z)) dz = 1x dx
Agora, podemos integrar ambos os lados.

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral (1z + cot(z)) dz = integral 1x dx
As integrais resultam em:
onde ln|z| + ln|sen(z)| = ln|x| + C é a constante de integração.

Passo 8

Simplificamos a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde ln|z cdot sen(z)| = ln|x| + C é uma nova constante.

Passo 9

Lembrando que yx cdot sen(yx) = K cdot x , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por y cdot sen(yx) = K cdot x^2 :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde y cdot sen(yx) = C cdot x^2 é a constante de integração.

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